Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và I, J thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} ,3\overrightarrow {J{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \)
a) Phân tích \(\overrightarrow {{\rm{IJ}}} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)
b) Chứng minh rằng IJ qua G.
Giải bởi Vietjack
a) Ta có
\(\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AB} \)
\(3\overrightarrow {J{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {J{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 5\overrightarrow {J{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AJ} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \)
Ta có \(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {{\rm{AJ}}} - \overrightarrow {AI} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} = - 2\left( {\overrightarrow {AB} - \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\) (1)
b) Ta có
\(\overrightarrow {JG} = \overrightarrow {{\rm{AG}}} - \overrightarrow {AJ} = \overrightarrow {AG} - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \) (M là trung điểm của BC)
\(\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{3} - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{{15}}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} - \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {{\rm{IJ}}} = - 6\overrightarrow {JG} \)
Do đó I, J, G thẳng hàng
Vậy IJ qua G.a) Chứng minh DE = BF.
b) Tia DE cắt BF tại H. Chứng minh \(\widehat {DHF}\) = 90°
c) Gọi I là trung điểm của EF, K là giao điểm của FE và BD. Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành.
d) Chứng minh A, H, K thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \), rồi suy ra cosA
b) Gọi G là trọng tâm của △ABC. Tính \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {BC} \)
c) Tính giá trị biểu thức S = \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GA} \)
d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D ∈ BC). Tính \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} \) theo \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} \)suy ra AD.
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tùy ý không nằm trên đường thẳng AB. Trên MI kéo dài, lấy một điểm N sao cho IN = MI.
a) Chứng minh: \(\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {MB} \)
b) Tìm các điểm D, C sao cho \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NI} = \overrightarrow {N{\rm{D}}} ;\overrightarrow {NM} - \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NC} \).
Cho (O;R) đường kính AD, dây AB , qua B kẻ dây BC vuông góc AD tại H . Tính bán kính R của đường tròn biết AB = 10 cm, BC = 12 cm.
Một chiếc cổng hình parabol dạng y = \( - \frac{1}{2}{x^2}\) có chiều rộng d = 8m. Hãy tính chiều cao h của cổng (Xem hình minh họa bên cạnh)
Một số nếu giảm xuống 3 lần rồi bớt đi 14,6 thì được kết quả là 30,4. Tìm số đó.
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {E{\rm{A}}} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {E{\rm{D}}} \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} = \overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} \).
Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {O{\rm{D}}} = \overrightarrow 0 \)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AD. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C, biết AB = BC = \(2\sqrt 5 \) cm, CD = 6 cm. Tìm bán kính đường tròn.
Xác định đường thẳng đi qua A(4 ; 3), cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 số nguyên dương, cắt trục hoành tại 1 điểm có hoành độ là 1 số nguyên tố.
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF} \)
Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {CB} \).
Tìm x, y, z biết \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z - 5}}{6}\) và 5z – 3x – 4y = 50.
Cho tứ giác ABCD có AB = AD; CB = CD (ta gọi tứ ABCD trong trường hợp này là tứ giác có hình ảnh cánh diều)
a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD
b) Tính góc B và góc D (biết \(\widehat A = 100^\circ ,\widehat C = 60^\circ \)).
