Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DE} - \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} .\)

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP = PN. Chọn câu đúng.

Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh

a) Tam giác ADB bằng tam giác ADC.

b) AD là tia phân giác của góc BAC.

c) AD vuông góc BC.

Cho DABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.

a) Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|\).

b) Tính \(\left| {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BI} } \right|\).

Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Để chứng minh \(\overline {AB} .\overline {C{\rm{D}}} + \overline {AC} .\overline {DB} + \overline {A{\rm{D}}} .\overline {BC} = 0\), một học sinh giải như sau:

Bước 1: Gọi a, b, c, d lần lượt là tọa đọ của điểm A, B, C, D trên trục x’Ox. Ta có

\(\overline {AB} .\overline {C{\rm{D}}} \) = (b – a)(d – c) = bd – ad – bc + ac                (1)

Bước 2: Tương tự \(\overline {AC} .\overline {{\rm{DB}}} \) = cb – ab – cd + ad            (2)

Bước 3: Tương tự \(\overline {AD} .\overline {BC} \) = dc – ac – ba + ab              (3)

Bước 4: Cộng (1), (2), (3) theo từng vế và rút gọn ta suy ra:

\(\overline {AB} .\overline {C{\rm{D}}} + \overline {AC} .\overline {DB} + \overline {A{\rm{D}}} .\overline {BC} = 0\)

Học sinh giải sai từ bước nào?

Cho bảng biến thiên hàm số y = f(x) như sau:

So sánh f(– 2021) và f(– 1); \(f\left( {\sqrt 3 } \right)\) và f(2).

Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, \(\widehat C = 60^\circ \). Độ dài cạnh c là

Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC', BCA', CAB'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của CA’, AB’, AC’. Chứng minh rằng:

a) MN = PC.

b) Gọi O là giao điểm của MN và PC. Chứng minh \(\widehat {MOC} = 60^\circ \).

Tìm giá trị thực của tham số m khác 0 để hàm số y = mx² – 2mx – 3m – 2 có giá trị nhỏ nhất bằng – 10 trên ℝ.

Tìm m để hàm số y = \(\sqrt {{x^2} + 4{\rm{x}} + m} \)có tập xác định là ℝ.

Cho tam giác ABC. Xác định I sao cho \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Cho A = (m; m + 1) ; B = (3; 5)

a) Tìm m để A hợp B là một khoảng. Xác định các khoảng đó.

b) A ∩ B ≠ ∅.

c) A ∩ B = ∅.

Cho tam giác đều ABC cạnh a, gọi G là trọng tâm. Khi đó giá trị \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {GC} } \right|\) là:

Rút gọn biểu thức sau

a) \(\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } + \sqrt 2 \);

b) \(\sqrt {8 - 2\sqrt {15} } - \sqrt 5 \);

c) \(\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } + 2\);

e) \(\sqrt {35 - 12\sqrt 6 } \);

g) \(\sqrt {7 - 3\sqrt 5 } \);

f) \(\sqrt {11 - 6\sqrt 2 } \).