Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DE} - \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} .\)

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP = PN. Chọn câu đúng.

Cho DABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.

a) Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|\).

b) Tính \(\left| {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BI} } \right|\).

Cho bảng biến thiên hàm số y = f(x) như sau:

So sánh f(– 2021) và f(– 1); \(f\left( {\sqrt 3 } \right)\) và f(2).

Cho tam giác ABC có \(\widehat B = \widehat C\) . Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ADB bằng tam giác ADC

b) AB = AC.

Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC', BCA', CAB'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của CA’, AB’, AC’. Chứng minh rằng:

a) MN = PC.

b) Gọi O là giao điểm của MN và PC. Chứng minh \(\widehat {MOC} = 60^\circ \).

Cho A = (m; m + 1) ; B = (3; 5)

a) Tìm m để A hợp B là một khoảng. Xác định các khoảng đó.

b) A ∩ B ≠ ∅.

c) A ∩ B = ∅.

Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, \(\widehat C = 60^\circ \). Độ dài cạnh c là

Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Để chứng minh \(\overline {AB} .\overline {C{\rm{D}}} + \overline {AC} .\overline {DB} + \overline {A{\rm{D}}} .\overline {BC} = 0\), một học sinh giải như sau:

Bước 1: Gọi a, b, c, d lần lượt là tọa đọ của điểm A, B, C, D trên trục x’Ox. Ta có

\(\overline {AB} .\overline {C{\rm{D}}} \) = (b – a)(d – c) = bd – ad – bc + ac                (1)

Bước 2: Tương tự \(\overline {AC} .\overline {{\rm{DB}}} \) = cb – ab – cd + ad            (2)

Bước 3: Tương tự \(\overline {AD} .\overline {BC} \) = dc – ac – ba + ab              (3)

Bước 4: Cộng (1), (2), (3) theo từng vế và rút gọn ta suy ra:

\(\overline {AB} .\overline {C{\rm{D}}} + \overline {AC} .\overline {DB} + \overline {A{\rm{D}}} .\overline {BC} = 0\)

Học sinh giải sai từ bước nào?

Cho tam giác ABC. Xác định I sao cho \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Tìm m để hàm số y = \(\sqrt {{x^2} + 4{\rm{x}} + m} \)có tập xác định là ℝ.

Cho tam giác đều ABC cạnh a, gọi G là trọng tâm. Khi đó giá trị \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {GC} } \right|\) là:

Cho hàm số bậc nhất y = (m – 2)x + m + 1 (m là tham số)

a) Với giá trị nào của m thì hàm số y là hàm số đồng biến?

b) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(2; 6).

c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B (A và B không trùng với gốc tọa độ O). Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB. Xác định giá trị của m, biết \(OH = \sqrt 2 \).

Rút gọn biểu thức sau

a) \(\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } + \sqrt 2 \);

b) \(\sqrt {8 - 2\sqrt {15} } - \sqrt 5 \);

c) \(\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } + 2\);

e) \(\sqrt {35 - 12\sqrt 6 } \);

g) \(\sqrt {7 - 3\sqrt 5 } \);

f) \(\sqrt {11 - 6\sqrt 2 } \).

Tìm giá trị thực của tham số m khác 0 để hàm số y = mx² – 2mx – 3m – 2 có giá trị nhỏ nhất bằng – 10 trên ℝ.