Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân.
b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh BI = DI.
c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Giải bởi Vietjack
a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.
Xét DDAE và DDCF có
AD = CD (chứng minh trên);
\(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {DCF}\left( { = 90^\circ } \right)\);
AE = CF (giả thiết).
Suy ra DDAE = DDCF (c.g.c)
Do đó DE = DF (1) và \(\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {C{\rm{D}}F}\)
Ta có \(\widehat {A{\rm{D}}E} + \widehat {C{\rm{DE}}} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {C{\rm{D}}F} + \widehat {C{\rm{DE}}} = 90^\circ \)
Hay \(\widehat {E{\rm{D}}F} = 90^\circ \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác EDF vuông cân tại D.
b) Xét tam giác EBF vuông tại B có BI là trung tuyến, suy ra \[BI = \frac{1}{2}EF\]
Xét tam giác EDF vuông tại D có BI là trung tuyến, suy ra \[DI = \frac{1}{2}EF\]
Do đó BI = DI.
c) Xét hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Suy ra O là trung điểm của BD
Do đó O thuộc đường trung trực của BD
Vì BI = DI nên I thuộc đường trung trực của BD
Vì CD = CB nên C thuộc đường trung trực của BD
Suy ra O, I, C cùng thuộc đường trung trực của BD.
Vậy O, I, C thẳng hàng.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Qua H kẻ các đường thẳng song song với AB và AC lần lượt cắt AC tại E, AB tại D.
a) Chứng minh rằng: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH. Biết AB = 6 cm; AC = 8 cm. Tính BC, DM, DM + EN?
c) Chứng minh rằng: Tứ giác DMNE là hình thang.
Chứng minh các hệ thức
a) \(1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a}}\);
b) \(1 + {\cot ^2}a = \frac{1}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a}}\);
c) \(\frac{{\cos a}}{{1 - \sin a}} = \frac{{1 + \sin a}}{{\cos a}}\).
Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN).
Phương trình \(\sqrt 3 \sin x - cosx = 1\) tương đương với phương trình nào sau đây?
Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA.
Cho tam giác ABC nhọn, BD vuông góc với AC, D thuộc AC, CE vuông góc với AB, E thuộc AB, BD cắt CE tại I. Chứng minh góc BIC bù góc A.
Cho đường tròn tâm O bán kính R = 2,5 cm và dây AB di động, sao cho AB = 4 cm. Hỏi trung điểm H của AB di động trên đường nào?
Cho tam giác ABC cân tại A \(\left( {\widehat A < 90^\circ } \right)\), đường cao AH. Kẻ HK ⊥ AC (K ∈ AC).
a) Tính HC, HK, \(\widehat C\) nếu AH = 20 cm, AC = 25 cm.
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AH, đường thẳng này cắt AC tại điểm E. Kẻ BD ⊥ AC (D ∈ AC). Chứng minh \(B{H^2} = \frac{{C{\rm{D}}.CE}}{4}\).
c) Gọi O là giao điểm của BD và AH. Chứng minh \(\frac{{BO}}{{DO}} = \frac{{A{\rm{E}}}}{{A{\rm{D}}}}\).
d) Kẻ KF ⊥ BC (F ∈ BC). Chứng minh CF = AC. sin3E.
Cho tam giác ABC với AB = AC. Lấy I là trung điểm BC. Trên tia BC lấy điểm N, trên tia CB lấy điểm M sao cho CN = BM. Chứng minh:
a) \(\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\)và AI là tia phân giác của góc BAC.
b) AM = AN.
c) AI vuông góc với BC.
Cho tam giác ABC với AB = AC. Lấy I là trung điểm BC. Trên tia BC lấy điểm N, trên tia CB lấy điểm M sao cho CN = BM. Chứng minh:
a) \(\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\)và AI là tia phân giác của góc BAC.
b) AM = AN.
c) AI vuông góc với BC.
Cho tana = 2. Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{4\sin a + 3\cos a}}{{5\sin a - 2\cos a}}\).
