Cho nửa đường tròn tâm O với bán kính R, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax tại A của nửa đường tròn. Xét điểm M thay đổi trên Ax, không trùng với A. Gọi E là điểm đối xứng với A qua OM.
a) Chứng minh rằng ME là một tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)
b) Đoạn OM cắt nửa đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AME
c) Gọi N là trung điểm EB. Tia ME cắt ON tại P. Hãy xác định vị trí của điểm M trên tia Ax để diện tích tam giác OMP đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R.
c) Gọi C là giao điểm của BE và tia Ax, OC cắt AE tại Q. Kẻ đường thẳng qua Q và song song với Ax, cắt OM tại D. Chứng minh rằng A, D, P thẳng hàng.
Giải bởi Vietjack
a) Ta có A, E đối xứng qua OM Þ MA = ME, OA = OE
Þ OE = R nên E thuộc đường tròn (O)
Xét ∆MAO và ∆MEO
OM: cạnh chung
MA = ME (cmt)
OA = OE (cmt)
Þ ∆MAO = ∆MEO (c.c.c)
\( \Rightarrow \widehat {MEO} = \widehat {MAO} = 90^\circ \)
Suy ra ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Ta có: A và E đối xứng qua OM suy ra MO là trung trực của AE
Mà I Î OM Þ IA = IE
Lại có MA là tiếp tuyến của (O)
\( \Rightarrow \widehat {MAI} = \widehat {IEA} = \widehat {IAE}\)
Suy ra AI là phân giác của \(\widehat {MAE}\)
Tương tự ta có EI là phân giác của \(\widehat {MEA}\)
Suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp ∆AME
c) Ta có N là trung điểm của BE Þ ON ^ BE Þ OP ^ BE
Do AB là đường kính của (O) Þ AE ^ EB
Mà MO là trung trực của AE Þ MO // BE
Þ MO ^ OP vì OP ^ BE
Suy ra ΔOMP vuông tại O
Lại có OE ^ MP
Þ EM.EP = OE2 = R2
\( \Rightarrow {S_{OMP}} = \frac{1}{2}OE\,.\,MP = \frac{1}{2}R\,.\,\left( {ME + EP} \right) \ge \frac{1}{2}R\,.\,\sqrt {ME\,.\,EP} = {R^2}\)
Dấu “=” xảy ra khi ME = EP = R
Þ ΔMEO vuông cân tại E
\( \Rightarrow OM = R\sqrt 2 = OA\sqrt 2 \Rightarrow MA = R\)
d) Gọi QD ∩ AB = F, AE ∩ BP = G
Ta có OP // AE (^ BE), O là trung điểm AB
Suy ra OP là đường trung bình ΔABG
Suy ra P là trung điểm của PG hay PG = PB
Ta có BE ∩ AM = C
Tương tự ta có M là trung điểm của AC hay MA = MC
Lại có QF // AC
\( \Rightarrow \frac{{QD}}{{MC}} = \frac{{OD}}{{OM}} = \frac{{DF}}{{MA}}\)
Þ QD = DF Þ D là trung điểm của QF
Ta có QF // BG (^ AB)
\( \Rightarrow \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{QF}}{{GB}} = \frac{{2DF}}{{2BP}} = \frac{{DF}}{{BP}}\)
Lại có \(\widehat {AFD} = \widehat {ABP} = 90^\circ \)
Suy ra ΔAFD ᔕ ΔABP (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {DAF} = \widehat {PAB}\)
Suy ra A, D, P thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, gọi I là trung điểm AM. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng đi qua B vuông góc với OA tại H và cắt đường tròn (O) tại C. Vẽ đường kính BD. Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm M và N (M nằm giữa A và N). Chứng minh:
a) CD // OA.
b) AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Cho biết R = 15 cm, BC = 24 cm. Tính AB, OA.
Cho \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\) với 0 < α < \(\frac{\pi }{2}\). Tính sinα.
Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác trong BD (K Î AB, D Î AC). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CK, AB lần lượt tại H và I.
a) Chứng minh CDKI là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AD.AC = DH.AB
c) Gọi F là trung điểm AD. Đường tròn tâm I bán kính ID cắt BC tại M (M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh B, N, F thẳng hàng.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tía AC lấy điểm D. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh DECB là hình thang cân.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Đường cao AH
a) Chứng minh tứ giác MNKH là hình thang cân
b) Gọi E là điểm đối xứng của M qua N. Tứ giác AMCE là hình gì?
c) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì thì tứ giác AECM là hình chữ nhật?
Tìm một số biết rằng gấp số đó lên 2,5 lần rồi trừ đi 1,6 thì được 5,4
Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia tiếp tuyến của nửa đường tròn và thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn qua M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) Chứng minh rằng CD = AC + BD, \(\widehat {COD} = 90^\circ \)
b) AC.BD = R2
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn, đường kính CD
d) AD cắt BC tại N, MN cắt AB tại K. Chứng minh rằng: MN // AC
Tìm A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C với:
a) A = [1 ; 4], B = (2; 6), C = (1; 2);
b) A = [ 0; 4], B = (1; 5), C = (–3; 1];
c) A = ( –5; 1], B = [3; +∞), C = ( –∞; – 2).
Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c đi qua điểm A (8; 0) và có đỉnh là I (6; −12).
Cho ∆ABC cân tại A. H là trung điểm của BC. D là hình chiếu của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh AM vuông góc BD.
Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, AB = 12a, AD = 5a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AO} } \right|\).
Cho tam giác ABC có AB = AC và D là trung điểm của BC. Gọi E là trung điểm của AC, trên tia đối của tia EB lấy điểm M sao cho EM = EB.
a) Chứng minh ∆ABD = ∆ACD;
b) Chứng minh rằng AM = 2.BD;
c) Tính số đo \(\widehat {MAD}\).
Chứng minh: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} \)
