Cho nửa đường tròn tâm O với bán kính R, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax tại A của nửa đường tròn. Xét điểm M thay đổi trên Ax, không trùng với A. Gọi E là điểm đối xứng với A qua OM.
a) Chứng minh rằng ME là một tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)
b) Đoạn OM cắt nửa đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AME
c) Gọi N là trung điểm EB. Tia ME cắt ON tại P. Hãy xác định vị trí của điểm M trên tia Ax để diện tích tam giác OMP đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R.
c) Gọi C là giao điểm của BE và tia Ax, OC cắt AE tại Q. Kẻ đường thẳng qua Q và song song với Ax, cắt OM tại D. Chứng minh rằng A, D, P thẳng hàng.
Giải bởi Vietjack
a) Ta có A, E đối xứng qua OM Þ MA = ME, OA = OE
Þ OE = R nên E thuộc đường tròn (O)
Xét ∆MAO và ∆MEO
OM: cạnh chung
MA = ME (cmt)
OA = OE (cmt)
Þ ∆MAO = ∆MEO (c.c.c)
\( \Rightarrow \widehat {MEO} = \widehat {MAO} = 90^\circ \)
Suy ra ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Ta có: A và E đối xứng qua OM suy ra MO là trung trực của AE
Mà I Î OM Þ IA = IE
Lại có MA là tiếp tuyến của (O)
\( \Rightarrow \widehat {MAI} = \widehat {IEA} = \widehat {IAE}\)
Suy ra AI là phân giác của \(\widehat {MAE}\)
Tương tự ta có EI là phân giác của \(\widehat {MEA}\)
Suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp ∆AME
c) Ta có N là trung điểm của BE Þ ON ^ BE Þ OP ^ BE
Do AB là đường kính của (O) Þ AE ^ EB
Mà MO là trung trực của AE Þ MO // BE
Þ MO ^ OP vì OP ^ BE
Suy ra ΔOMP vuông tại O
Lại có OE ^ MP
Þ EM.EP = OE2 = R2
\( \Rightarrow {S_{OMP}} = \frac{1}{2}OE\,.\,MP = \frac{1}{2}R\,.\,\left( {ME + EP} \right) \ge \frac{1}{2}R\,.\,\sqrt {ME\,.\,EP} = {R^2}\)
Dấu “=” xảy ra khi ME = EP = R
Þ ΔMEO vuông cân tại E
\( \Rightarrow OM = R\sqrt 2 = OA\sqrt 2 \Rightarrow MA = R\)
d) Gọi QD ∩ AB = F, AE ∩ BP = G
Ta có OP // AE (^ BE), O là trung điểm AB
Suy ra OP là đường trung bình ΔABG
Suy ra P là trung điểm của PG hay PG = PB
Ta có BE ∩ AM = C
Tương tự ta có M là trung điểm của AC hay MA = MC
Lại có QF // AC
\( \Rightarrow \frac{{QD}}{{MC}} = \frac{{OD}}{{OM}} = \frac{{DF}}{{MA}}\)
Þ QD = DF Þ D là trung điểm của QF
Ta có QF // BG (^ AB)
\( \Rightarrow \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{QF}}{{GB}} = \frac{{2DF}}{{2BP}} = \frac{{DF}}{{BP}}\)
Lại có \(\widehat {AFD} = \widehat {ABP} = 90^\circ \)
Suy ra ΔAFD ᔕ ΔABP (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {DAF} = \widehat {PAB}\)
Suy ra A, D, P thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, gọi I là trung điểm AM. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng đi qua B vuông góc với OA tại H và cắt đường tròn (O) tại C. Vẽ đường kính BD. Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm M và N (M nằm giữa A và N). Chứng minh:
a) CD // OA.
b) AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Cho biết R = 15 cm, BC = 24 cm. Tính AB, OA.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Đường cao AH
a) Chứng minh tứ giác MNKH là hình thang cân
b) Gọi E là điểm đối xứng của M qua N. Tứ giác AMCE là hình gì?
c) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì thì tứ giác AECM là hình chữ nhật?
Cho \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\) với 0 < α < \(\frac{\pi }{2}\). Tính sinα.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tía AC lấy điểm D. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh DECB là hình thang cân.
Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác trong BD (K Î AB, D Î AC). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CK, AB lần lượt tại H và I.
a) Chứng minh CDKI là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AD.AC = DH.AB
c) Gọi F là trung điểm AD. Đường tròn tâm I bán kính ID cắt BC tại M (M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh B, N, F thẳng hàng.
Cho ∆ABC cân tại A. H là trung điểm của BC. D là hình chiếu của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh AM vuông góc BD.
Cho tam giác ABC, AB = AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại M.
a) Chứng minh: ∆AMB = ∆AMC.
b) Chứng minh M là trung điểm của cạnh BC.
c) K là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AM, đường thẳng CK cắt cạnh AB tại I. Vẽ IH vuông góc với BC tại H. Chứng minh \(\widehat {BAC} = 2\widehat {BIH}\).
Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia tiếp tuyến của nửa đường tròn và thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn qua M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) Chứng minh rằng CD = AC + BD, \(\widehat {COD} = 90^\circ \)
b) AC.BD = R2
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn, đường kính CD
d) AD cắt BC tại N, MN cắt AB tại K. Chứng minh rằng: MN // AC
Tìm A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C với:
a) A = [1 ; 4], B = (2; 6), C = (1; 2);
b) A = [ 0; 4], B = (1; 5), C = (–3; 1];
c) A = ( –5; 1], B = [3; +∞), C = ( –∞; – 2).
Tìm một số biết rằng gấp số đó lên 2,5 lần rồi trừ đi 1,6 thì được 5,4
Cho tam giác ABC cân tại A, M trung điểm BC, H là hình chiếu của M trên AC, E là trung điểm MH . Chứng minh AE vuông góc với BH
Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c đi qua điểm A (8; 0) và có đỉnh là I (6; −12).
Cho tam giác ABC có AB = AC và D là trung điểm của BC. Gọi E là trung điểm của AC, trên tia đối của tia EB lấy điểm M sao cho EM = EB.
a) Chứng minh ∆ABD = ∆ACD;
b) Chứng minh rằng AM = 2.BD;
c) Tính số đo \(\widehat {MAD}\).
