Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Gọi I là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \), tức là \(\overrightarrow {IA} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {IB} \), suy ra điểm I thuộc đoạn thẳng AB sao cho \(IA = \frac{3}{2}IB\).
Vì A, B cố định nên I cố định.
Ta có: \(\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)} \right|\)
\( = \left| {5\overrightarrow {MI} + \left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} } \right)} \right| = \left| {5\overrightarrow {MI} } \right| = 5MI\).
Để \(\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} } \right| = 42\) thì 5MI = 42, suy ra \(MI = \frac{{42}}{5}\), do đó điểm M luôn cách điểm I cố định một đoạn bằng \(\frac{{42}}{5}\).
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn cố định tâm I, bán kính bằng \(\frac{{42}}{5}\).
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) ∆AOB cân tại O.
b) ∆ABD = ∆BAC.
c) EC = ED.
d) OE là đường trung trực chung của AB và CD.
Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a. AC = EB và AC // BE.
b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI = EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.
c. Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết \(\widehat {HBE}\)= 50\(^\circ \), \(\widehat {MEB}\) = 25\(^\circ \), tính \(\widehat {HEM}\) và \(\widehat {BME}\).
Cho ∆ABC vuông tại A, có phân giác AD.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{AD}}\).
Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a. d đi qua M(–2; 5) và vuông góc với \({d_1}:y = - \frac{1}{2}x + 2\).
b. d // \({d_1}:y = - 3x + 4\) và đi qua giao của 2 đường thẳng\({d_2}:y = 2x - 3;{d_3}:y = 3x - \frac{7}{2}\).
Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA < IB. Trên đoạn MI lấy điểm E (E ≠ M, I). Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.
a. Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp.
b. Chứng minh ∆AME, AKM đồng dạng với nhau và \(A{M^2} = AE.AK\).
c. Chứng minh: \(AE.AK + BI.BA = 4{R^2}\).
d. Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi ∆MIO đạt GTLN.
