Cho ∆ABC vuông tại B. Lấy M trên AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BM lần lượt tại H và K.
a. Chứng minh CK = BH.tanBAC.
b. Chứng minh \(\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{BH.{{\tan }^2}BAC}}{{BK}}\).
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
a. ∆BAH ∆CBK (g.g)
vì \(\widehat {BHA} = \widehat {CKB} = 90^\circ ,\widehat {ABH} = \widehat {BCK}\) (cùng phụ với \(\widehat {CBK}\)) \( \Rightarrow \frac{{BH}}{{CK}} = \frac{{AB}}{{BC}}\)
mà \(\tan BAC = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{CK}}{{BH}} \Rightarrow CK = BH.\tan BAC\)(đpcm)
b. ∆BAH ∆CBK (cmt) \( \Rightarrow \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow AH = \frac{{AB}}{{BC}}.BK\)
∆MCK ∆MAH (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{CK}}{{AH}} = \frac{{BH.\tan BAC}}{{AH}} = \frac{{BH.\tan BAC}}{{\frac{{AB.BK}}{{BC}}}} = \frac{{BH.\tan BAC.BC}}{{AB.BK}} = \frac{{BH.{{\tan }^2}BAC}}{{BK}}\)(đpcm)Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a. d đi qua M(–2; 5) và vuông góc với \({d_1}:y = - \frac{1}{2}x + 2\).
b. d // \({d_1}:y = - 3x + 4\) và đi qua giao của 2 đường thẳng\({d_2}:y = 2x - 3;{d_3}:y = 3x - \frac{7}{2}\).
Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a. AC = EB và AC // BE.
b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI = EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.
c. Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết \(\widehat {HBE}\)= 50\(^\circ \), \(\widehat {MEB}\) = 25\(^\circ \), tính \(\widehat {HEM}\) và \(\widehat {BME}\).
Cho ∆ABC vuông tại A, có phân giác AD.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{AD}}\).
Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA < IB. Trên đoạn MI lấy điểm E (E ≠ M, I). Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.
a. Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp.
b. Chứng minh ∆AME, AKM đồng dạng với nhau và \(A{M^2} = AE.AK\).
c. Chứng minh: \(AE.AK + BI.BA = 4{R^2}\).
d. Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi ∆MIO đạt GTLN.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) ∆AOB cân tại O.
b) ∆ABD = ∆BAC.
c) EC = ED.
d) OE là đường trung trực chung của AB và CD.
