Giải bởi Vietjack
Lời giải:
\({\cos ^3}x + {\sin ^3}x = \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {{{\cos }^2}x - \sin x\cos x + {{\sin }^2}x} \right) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)
\( \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x - \cos x + \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left[ {\left( {1 + \sin x} \right) - \cos x\left( {\sin x + 1} \right)} \right] = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = - \cos x}\\{\sin x = - 1}\\{\cos x = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan x = - 1}\\{\sin x = - 1}\\{\cos x = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) ∆AOB cân tại O.
b) ∆ABD = ∆BAC.
c) EC = ED.
d) OE là đường trung trực chung của AB và CD.
Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a. AC = EB và AC // BE.
b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI = EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.
c. Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết \(\widehat {HBE}\)= 50\(^\circ \), \(\widehat {MEB}\) = 25\(^\circ \), tính \(\widehat {HEM}\) và \(\widehat {BME}\).
Cho ∆ABC vuông tại A, có phân giác AD.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{AD}}\).
Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a. d đi qua M(–2; 5) và vuông góc với \({d_1}:y = - \frac{1}{2}x + 2\).
b. d // \({d_1}:y = - 3x + 4\) và đi qua giao của 2 đường thẳng\({d_2}:y = 2x - 3;{d_3}:y = 3x - \frac{7}{2}\).
Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA < IB. Trên đoạn MI lấy điểm E (E ≠ M, I). Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.
a. Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp.
b. Chứng minh ∆AME, AKM đồng dạng với nhau và \(A{M^2} = AE.AK\).
c. Chứng minh: \(AE.AK + BI.BA = 4{R^2}\).
d. Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi ∆MIO đạt GTLN.
