Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Ta có công thức: \(1 - \frac{1}{{{k^2}}} = \frac{{{k^2} - {1^2}}}{{{k^2}}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{{{k^2}}}\)
Áp dụng công thức trên ta được:
\(\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{{2^2} - {1^2}}}{{{2^2}}}.\frac{{{3^2} - {1^2}}}{{{3^2}}}.\frac{{{4^2} - {1^2}}}{{{4^2}}}....\frac{{{n^2} - {1^2}}}{{{n^2}}}\)
\( = \frac{{\left( {2 + 1} \right)\left( {2 - 1} \right)}}{{2.2}}.\frac{{\left( {3 + 1} \right)\left( {3 - 1} \right)}}{{3.3}}.\frac{{\left( {4 + 1} \right)\left( {4 - 1} \right)}}{{4.4}}....\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)}}{{n.n}}\)
\( = \frac{{1.3}}{{2.2}} = \frac{{2.4}}{{3.3}} = \frac{{3.5}}{{4.4}}....\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)}}{{n.n}} = \frac{{\left[ {1.2.3...\left( {n + 1} \right)} \right].\left[ {3.4.5...\left( {n - 1} \right)} \right]}}{{\left( {2.3.4...n} \right)\left( {2.3.4...n} \right)}}\)
\( = \left( {n + 1} \right).\frac{1}{{2n}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}\).
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) ∆AOB cân tại O.
b) ∆ABD = ∆BAC.
c) EC = ED.
d) OE là đường trung trực chung của AB và CD.
Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a. AC = EB và AC // BE.
b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI = EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.
c. Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết \(\widehat {HBE}\)= 50\(^\circ \), \(\widehat {MEB}\) = 25\(^\circ \), tính \(\widehat {HEM}\) và \(\widehat {BME}\).
Cho ∆ABC vuông tại A, có phân giác AD.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{AD}}\).
Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a. d đi qua M(–2; 5) và vuông góc với \({d_1}:y = - \frac{1}{2}x + 2\).
b. d // \({d_1}:y = - 3x + 4\) và đi qua giao của 2 đường thẳng\({d_2}:y = 2x - 3;{d_3}:y = 3x - \frac{7}{2}\).
Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA < IB. Trên đoạn MI lấy điểm E (E ≠ M, I). Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.
a. Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp.
b. Chứng minh ∆AME, AKM đồng dạng với nhau và \(A{M^2} = AE.AK\).
c. Chứng minh: \(AE.AK + BI.BA = 4{R^2}\).
d. Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi ∆MIO đạt GTLN.
