Cho ∆ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H.
a) Gọi E là điểm đối xứng với H qua D. Chứng minh rằng: ABEC là tứ giác nội tiếp.
b) Tính HD và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC biết HA = 7 cm, HB = 2 cm.
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
a) ΔABC cân tại A có đường cao AD
⇒ AD đồng thời là đường trung tuyến của ΔABC ⇒ D là trung điểm BC.
Mà D là trung điểm EH (vì E và H đối xứng qua D).
⇒ Tứ giác BECH là hình bình hành.
Ta lại có: BC ⊥ EH tại D ⇒ BECH là hình thoi ⇒ BH = BE.
BE // CH; CE // BH; H là trực tâm ΔABC ⇒ CH ⊥ AB ⇒ BE ⊥ AB
BH ⊥ AC ⇒ CE ⊥ AC
\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACE} = 90^\circ ;\widehat {ABE} + \widehat {ACE} = 180^\circ \)
⇒ ABEC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AE (với O là trung điểm AE).
b) Ta có: BE = HB; DE = HD (câu a)
AE = HA + HD + DE = HA + 2HD
Đặt HD = x (x > 0)
HA = 7 cm; HB = 2 cm
ΔABE vuông tại B đường cao BD
\( \Rightarrow B{E^2} = DE.AE\) (hệ thức lượng trong ∆ vuông)
⇔ \(H{B^2}\)= HD.(HA + 2HD)
⇔ 22 = x(7 + 2x)
⇔ \(2{x^2}\)+ 7x – 4 = 0
⇔ \(2{x^2}\)+ 8x – x – 4 = 0
⇔ 2x(x + 4) − (x + 4) = 0
⇔ (x + 4)(2x − 1) = 0
⇔ x = −4 (loại) hoặc x = 0,5 (nhận)
⇒ HD = x = 0,5 cm
⇒ AE = HA + 2HD = 7 + 2.0,5 = 8 cm
⇒ R = OA = 12AE = 12.8 = 4 cm
Vậy HD = 0,5cm và bán kính đường tròn (O) ngoại tiếp ΔABC là R = 4 cm.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) ∆AOB cân tại O.
b) ∆ABD = ∆BAC.
c) EC = ED.
d) OE là đường trung trực chung của AB và CD.
Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a. AC = EB và AC // BE.
b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI = EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.
c. Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết \(\widehat {HBE}\)= 50\(^\circ \), \(\widehat {MEB}\) = 25\(^\circ \), tính \(\widehat {HEM}\) và \(\widehat {BME}\).
Cho ∆ABC vuông tại A, có phân giác AD.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{AD}}\).
Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a. d đi qua M(–2; 5) và vuông góc với \({d_1}:y = - \frac{1}{2}x + 2\).
b. d // \({d_1}:y = - 3x + 4\) và đi qua giao của 2 đường thẳng\({d_2}:y = 2x - 3;{d_3}:y = 3x - \frac{7}{2}\).
Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA < IB. Trên đoạn MI lấy điểm E (E ≠ M, I). Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.
a. Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp.
b. Chứng minh ∆AME, AKM đồng dạng với nhau và \(A{M^2} = AE.AK\).
c. Chứng minh: \(AE.AK + BI.BA = 4{R^2}\).
d. Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi ∆MIO đạt GTLN.
