Giải bởi Vietjack
Lời giải:
\(A = \frac{{x\sqrt x - 3 - 2{{\left( {\sqrt x - 3} \right)}^2} - \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
\( = \frac{{x\sqrt x - 3 - 2x + 12\sqrt x - 18 - x - 4\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{x\sqrt x - 3x + 8\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {\sqrt x - 3} \right) + 8\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {x + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 8}}{{\sqrt x + 1}}\end{array}\)
Ta có: \(x = 4 - 2\sqrt 3 \) thỏa mãn ĐKXĐ:
\(x = 4 - 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 - 1\) (Do \(\sqrt 3 - 1 > 0\))
Thay \(x = 4 - 2\sqrt 3 \) và \(\sqrt x = \sqrt 3 - 1\) vào biểu thức A ta có:
\(A = \frac{{4 - 2\sqrt 3 + 8}}{{\sqrt 3 - 1 + 1}} = \frac{{12 - 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 4\sqrt 3 - 2\)
Vậy khi x = 4 – \(2\sqrt 3 \) thì \(A = 4\sqrt 3 - 2\).
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) ∆AOB cân tại O.
b) ∆ABD = ∆BAC.
c) EC = ED.
d) OE là đường trung trực chung của AB và CD.
Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a. AC = EB và AC // BE.
b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI = EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.
c. Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết \(\widehat {HBE}\)= 50\(^\circ \), \(\widehat {MEB}\) = 25\(^\circ \), tính \(\widehat {HEM}\) và \(\widehat {BME}\).
Cho ∆ABC vuông tại A, có phân giác AD.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{AD}}\).
Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a. d đi qua M(–2; 5) và vuông góc với \({d_1}:y = - \frac{1}{2}x + 2\).
b. d // \({d_1}:y = - 3x + 4\) và đi qua giao của 2 đường thẳng\({d_2}:y = 2x - 3;{d_3}:y = 3x - \frac{7}{2}\).
Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA < IB. Trên đoạn MI lấy điểm E (E ≠ M, I). Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.
a. Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp.
b. Chứng minh ∆AME, AKM đồng dạng với nhau và \(A{M^2} = AE.AK\).
c. Chứng minh: \(AE.AK + BI.BA = 4{R^2}\).
d. Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi ∆MIO đạt GTLN.
