Giải bởi Vietjack
Lời giải:
+) Ta có: \({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2};{\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\)
\(P = {\sin ^{10}}x + {\cos ^{10}}x\)
\( = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^5} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^5}\)
\( = \frac{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^5} + {{\left( {1 + \cos 2x} \right)}^5}}}{{{2^5}}}\)
\( = \frac{{\left( {1 - 5\cos 2x} \right) + 10{{\cos }^2}2x - 10{{\cos }^3}2x + 5{{\cos }^4}2x - {{\cos }^5}2x + \left( {1 + 5\cos 2x} \right) + 10{{\cos }^2}2x + 10{{\cos }^3}2x + 5{{\cos }^4}2x + {{\cos }^5}2x}}{{32}}\)
\( = \frac{{2 + 20{{\cos }^2}2x + 10{{\cos }^4}2x}}{{32}}\)
\( = \frac{5}{{16}}{\cos ^4}2x + \frac{5}{8}{\cos ^2}2x + \frac{1}{{16}}\)
+) \(P = \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow \frac{5}{{16}}{\cos ^4}2x + \frac{5}{8}{\cos ^2}2x = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{5}{{16}}{\cos ^2}2x\left( {{{\cos }^2}2x + 2} \right) = 0\)
⇔ cos2x = 0 (do cos22x + 2 > 0)
⇔ \(2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) ∆AOB cân tại O.
b) ∆ABD = ∆BAC.
c) EC = ED.
d) OE là đường trung trực chung của AB và CD.
Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a. AC = EB và AC // BE.
b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI = EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.
c. Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết \(\widehat {HBE}\)= 50\(^\circ \), \(\widehat {MEB}\) = 25\(^\circ \), tính \(\widehat {HEM}\) và \(\widehat {BME}\).
Cho ∆ABC vuông tại A, có phân giác AD.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{AD}}\).
Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a. d đi qua M(–2; 5) và vuông góc với \({d_1}:y = - \frac{1}{2}x + 2\).
b. d // \({d_1}:y = - 3x + 4\) và đi qua giao của 2 đường thẳng\({d_2}:y = 2x - 3;{d_3}:y = 3x - \frac{7}{2}\).
Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA < IB. Trên đoạn MI lấy điểm E (E ≠ M, I). Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.
a. Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp.
b. Chứng minh ∆AME, AKM đồng dạng với nhau và \(A{M^2} = AE.AK\).
c. Chứng minh: \(AE.AK + BI.BA = 4{R^2}\).
d. Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi ∆MIO đạt GTLN.
