Giải bởi Vietjack
Lời giải:
\({n^{2021}} + {n^{2020}} + 1 = {n^{2021}} - {n^2} + {n^{2020}} - n + {n^2} + n + 1\)
\( = {n^2}\left( {{n^{2019}} - 1} \right) + n\left( {{n^{2019}} - 1} \right) + \left( {{n^2} + n + 1} \right) = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^{2019}} - 1} \right) + \left( {{n^2} + n + 1} \right)\)
\( = n\left( {n + 1} \right)\left( {{n^{2019}} - 1} \right) + \left( {{n^2} + n + 1} \right)\left( 1 \right)\)
Để ý rằng, 2019 \( \vdots \) 3 và 2019 = 3 x 673. Nên nếu ta đặt A = \({n^3}\)thì \({n^{2019}} = {A^{673}}\)
Mặt khác, áp dụng hằng đẳng thức sau:
\({a^k} - {b^k} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + {a^{k - 3}}{b^2} + ... + {a^2}{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}}} \right)\)
Ta có \({n^{2019}} - 1 = {A^{673}} - 1 = {A^{673}} - 1 = \left( {A - 1} \right)\left( {{A^{672}} + {A^{671}} + ... + {A^1} + 1} \right)\)
Vậy suy ra \({n^{2019}} - 1 \vdots \left( {A - 1} \right)\)hay \({n^{2019}} - 1 \vdots \left( {{n^3} - 1} \right)\)
Mà \({n^3} - 1 = \left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right) \Rightarrow \left( {{n^{2019}} - 1} \right) \vdots \left( {{n^2} + n + 1} \right)\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left( {{n^{2021}} + {n^{2020}} + 1} \right) \vdots \left( {{n^2} + n + 1} \right)\)
Như vậy để \({n^{2021}} + {n^{2020}} + 1\) là số nguyên tố thì có 2 trường hợp:
(1) \({n^2} + n + 1 = 1\), trường hợp này không xảy ra do n > 0 (gt)
(2) \({n^{2021}} + {n^{2020}} + 1 = {n^2} + n + 1\) hay \({n^{2020}}\left( {n + 1} \right) = n\left( {n + 1} \right)\)
\( \Rightarrow n\left( {n + 1} \right)\left( {{n^{2019}} - 1} \right) = 0\), do n > 0 nên \({n^{2019}} - 1 = 0\) hay n = 1
Thử lại ta có \({n^{2021}} + {n^{2020}} + 1 = {1^{2021}} + {1^{2020}} + 1 = 3\) là số nguyên tố.
Vậy n = 1 là đáp án cần tìm.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) ∆AOB cân tại O.
b) ∆ABD = ∆BAC.
c) EC = ED.
d) OE là đường trung trực chung của AB và CD.
Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a. AC = EB và AC // BE.
b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI = EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.
c. Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết \(\widehat {HBE}\)= 50\(^\circ \), \(\widehat {MEB}\) = 25\(^\circ \), tính \(\widehat {HEM}\) và \(\widehat {BME}\).
Cho ∆ABC vuông tại A, có phân giác AD.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{AD}}\).
Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a. d đi qua M(–2; 5) và vuông góc với \({d_1}:y = - \frac{1}{2}x + 2\).
b. d // \({d_1}:y = - 3x + 4\) và đi qua giao của 2 đường thẳng\({d_2}:y = 2x - 3;{d_3}:y = 3x - \frac{7}{2}\).
Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA < IB. Trên đoạn MI lấy điểm E (E ≠ M, I). Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.
a. Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp.
b. Chứng minh ∆AME, AKM đồng dạng với nhau và \(A{M^2} = AE.AK\).
c. Chứng minh: \(AE.AK + BI.BA = 4{R^2}\).
d. Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi ∆MIO đạt GTLN.
