Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.
a) Chứng minh AD . AB = AE . AC.
b) Chứng minh \(\frac{{BH}}{{HC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\).
c) Cho BH = 4 cm, CH = 9 cm. Tính DE và \(\widehat {A{\rm{D}}E}\) (làm tròn đến độ).
d) Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH. Tính SDENM.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB
Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét ΔAEH vuông tại H có HE ⊥ AC
Suy ra AH2 = AE . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà AH2 = AD . AB (chứng minh trên)
Suy ra AD . AB = AE . AC
b) Vì ΔABC vuông tại A nên AB2 + AC2 = BC2 (định lý Pytago)
Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC
Suy ra AB2 = BH . BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇔ AB2 . BC = BH . BC2
\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BC - BH}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2} - A{B^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\)
c) Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC
Suy ra AH2 = BH . HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay AH2 = 4 . 9 = 36
Suy ra AH = 6
Xét tứ giác ADHE có \(\widehat {DAE} = \widehat {A{\rm{D}}H} = \widehat {A{\rm{E}}H} = 90^\circ \)
Suy ra ADHE là hình chữ nhật
Mà AH, DE là hai đường chéo
Suy ra DE = AH = 6 (cm)
Vì ΔABH vuông tại H nên HB2 + AH2 = BA2 (định lý Pytago)
Hay 42 + 62 = AB2
Suy ra \(AB = 2\sqrt {13} \)
Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB
Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay \({6^2} = A{\rm{D }}.{\rm{ }}2\sqrt {13} \)
Suy ra \(A{\rm{D = }}\frac{{18}}{{\sqrt {13} }}\)
Xét tam giác ADE vuông tại A có
\({\rm{cos}}\widehat {A{\rm{D}}E} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{DE}} = \frac{{18}}{{6\sqrt {13} }} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\)
Suy ra \(\widehat {A{\rm{D}}E} \approx 33^\circ \).
d) Vì ra ADHE là hình chữ nhật có AH, DE là hai đường chéo
Suy ra AH cắt DE tại trung điểm O của mỗi đường
Mà AH = DE
Do đó OH = OD
Suy ra tam giác OHD cân tại O
Suy ra \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {O{\rm{D}}H}\)
Xét ΔHBD vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
Suy ra \(DM = MH = \frac{1}{2}BH = \frac{1}{2}.4 = 2\)
Do đó ΔDMH cân tại M
Suy ra \(\widehat {MDH} = \widehat {MH{\rm{D}}}\)
Mà \(\widehat {DHA} + \widehat {MH{\rm{D}}} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{ED}}H}\)(chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat {H{\rm{D}}E} + \widehat {M{\rm{DH}}} = \widehat {M{\rm{D}}E} = 90^\circ \)
Hay MD ⊥ DE.
Chứng minh tương tự ta có \(EN = \frac{{CH}}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\)
và \(\widehat {DEH} + \widehat {HEN} = \widehat {AHE} + \widehat {{\rm{EHN}}} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
Hay \(\widehat {DEN} = 90^\circ \)
Suy ra EN ⊥ DE
Mà MD ⊥ DE
Nên EN // MD (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác DENM có EN ⊥ DE, EN // MD (chứng minh trên)
Suy ra DENM là hình thang vuông
Do đó \({S_{DENM}} = \frac{{\left( {DM + EN} \right).DE}}{2} = \frac{{\left( {2 + 4,5} \right).6}}{2} = 19,5\,\,\left( {c{m^2}} \right)\) .
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại 2 điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H.
a) Chứng minh OH . OM không đổi.
b) Chứng minh bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc 1 đường tròn.
c) Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng bốn điểm A; D; H; E cùng nằm trên một đường tròn (gọi tâm của nó là O).
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ME là tiếp tuyến đường tròn (O).
Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Cho hàm số bậc nhất y = ax + 3.
a) Xác định hệ số góc a, biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 6).
b) Vẽ đồ thị của hàm số với hệ số a tìm được ở câu a.
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:
a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) MC2 = 3R2.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(– 4; 1); B(2; 4); C(2; –2). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.
Cho hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + 2m – 5 (d1).
a) Tính giá trị của m để đường thẳng (d1) song song với đường thẳng y = 3x + 1 (d2).
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O trực tâm H đường kính AD
a) Chứng minh \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {H{\rm{D}}} \).
b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \).
c) Gọi H' là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \).
d) Gọi D' là điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {D'C} \).
Cho biểu thức:
\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{9\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x - 6}}\) và \(B = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4.
a) Tính giá trị biểu thức B khi x = 9.
b) Rút gọn A.
c) Chứng minh rằng khi A > 0 thì B ≥ 3.
Cho 7 điểm A, B, C, D, E, F, G. Chứng minh
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {E{\rm{D}}} + \overrightarrow {GF} \).
b) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} - \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {EF} - \overrightarrow {E{\rm{D}}} = \overrightarrow 0 \).
