Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.
a) Chứng minh AD . AB = AE . AC.
b) Chứng minh \(\frac{{BH}}{{HC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\).
c) Cho BH = 4 cm, CH = 9 cm. Tính DE và \(\widehat {A{\rm{D}}E}\) (làm tròn đến độ).
d) Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH. Tính SDENM.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB
Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét ΔAEH vuông tại H có HE ⊥ AC
Suy ra AH2 = AE . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà AH2 = AD . AB (chứng minh trên)
Suy ra AD . AB = AE . AC
b) Vì ΔABC vuông tại A nên AB2 + AC2 = BC2 (định lý Pytago)
Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC
Suy ra AB2 = BH . BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇔ AB2 . BC = BH . BC2
\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BC - BH}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2} - A{B^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\)
c) Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC
Suy ra AH2 = BH . HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay AH2 = 4 . 9 = 36
Suy ra AH = 6
Xét tứ giác ADHE có \(\widehat {DAE} = \widehat {A{\rm{D}}H} = \widehat {A{\rm{E}}H} = 90^\circ \)
Suy ra ADHE là hình chữ nhật
Mà AH, DE là hai đường chéo
Suy ra DE = AH = 6 (cm)
Vì ΔABH vuông tại H nên HB2 + AH2 = BA2 (định lý Pytago)
Hay 42 + 62 = AB2
Suy ra \(AB = 2\sqrt {13} \)
Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB
Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay \({6^2} = A{\rm{D }}.{\rm{ }}2\sqrt {13} \)
Suy ra \(A{\rm{D = }}\frac{{18}}{{\sqrt {13} }}\)
Xét tam giác ADE vuông tại A có
\({\rm{cos}}\widehat {A{\rm{D}}E} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{DE}} = \frac{{18}}{{6\sqrt {13} }} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\)
Suy ra \(\widehat {A{\rm{D}}E} \approx 33^\circ \).
d) Vì ra ADHE là hình chữ nhật có AH, DE là hai đường chéo
Suy ra AH cắt DE tại trung điểm O của mỗi đường
Mà AH = DE
Do đó OH = OD
Suy ra tam giác OHD cân tại O
Suy ra \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {O{\rm{D}}H}\)
Xét ΔHBD vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
Suy ra \(DM = MH = \frac{1}{2}BH = \frac{1}{2}.4 = 2\)
Do đó ΔDMH cân tại M
Suy ra \(\widehat {MDH} = \widehat {MH{\rm{D}}}\)
Mà \(\widehat {DHA} + \widehat {MH{\rm{D}}} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{ED}}H}\)(chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat {H{\rm{D}}E} + \widehat {M{\rm{DH}}} = \widehat {M{\rm{D}}E} = 90^\circ \)
Hay MD ⊥ DE.
Chứng minh tương tự ta có \(EN = \frac{{CH}}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\)
và \(\widehat {DEH} + \widehat {HEN} = \widehat {AHE} + \widehat {{\rm{EHN}}} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
Hay \(\widehat {DEN} = 90^\circ \)
Suy ra EN ⊥ DE
Mà MD ⊥ DE
Nên EN // MD (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác DENM có EN ⊥ DE, EN // MD (chứng minh trên)
Suy ra DENM là hình thang vuông
Do đó \({S_{DENM}} = \frac{{\left( {DM + EN} \right).DE}}{2} = \frac{{\left( {2 + 4,5} \right).6}}{2} = 19,5\,\,\left( {c{m^2}} \right)\) .
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại 2 điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H.
a) Chứng minh OH . OM không đổi.
b) Chứng minh bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc 1 đường tròn.
c) Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng bốn điểm A; D; H; E cùng nằm trên một đường tròn (gọi tâm của nó là O).
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ME là tiếp tuyến đường tròn (O).
Cho hàm số bậc nhất y = ax + 3.
a) Xác định hệ số góc a, biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 6).
b) Vẽ đồ thị của hàm số với hệ số a tìm được ở câu a.
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:
a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) MC2 = 3R2.
Cho 7 điểm A, B, C, D, E, F, G. Chứng minh
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {E{\rm{D}}} + \overrightarrow {GF} \).
b) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} - \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {EF} - \overrightarrow {E{\rm{D}}} = \overrightarrow 0 \).
Cho hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + 2m – 5 (d1).
a) Tính giá trị của m để đường thẳng (d1) song song với đường thẳng y = 3x + 1 (d2).
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O trực tâm H đường kính AD
a) Chứng minh \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {H{\rm{D}}} \).
b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \).
c) Gọi H' là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \).
d) Gọi D' là điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {D'C} \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(– 4; 1); B(2; 4); C(2; –2). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.
Cho biểu thức:
\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{9\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x - 6}}\) và \(B = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4.
a) Tính giá trị biểu thức B khi x = 9.
b) Rút gọn A.
c) Chứng minh rằng khi A > 0 thì B ≥ 3.
