Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.
a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì AC là tiếp tuyến của (O) nên AC ⊥ OC, hay tam giác OAC vuông tại C
Suy ra C thuộc đường tròn đường kính AO (1)
Xét (O) có DE là dây cung, H là trung điểm của DE, suy ra DE ⊥ OH
Hay tam giác OHA vuông tại H
Suy ra H thuộc đường tròn đường kính AO (2)
Vì AB là tiếp tuyến của (O) nên AB ⊥ OB, hay tam giác OAB vuông tại B
Suy ra B thuộc đường tròn đường kính AO (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra 3 điểm C, H, B cùng nằm trên đường tròn đường kính AO.
Vậy 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO.
b) • Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A
Suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC}\) (4)
• Xét đường tròn đường kính AO có
\(\widehat {AOB},\widehat {AHB}\) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB
Suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {AHB}\) (5)
• Xét đường tròn đường kính AO có
\(\widehat {AOC},\widehat {AHC}\) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC
Suy ra \(\widehat {AOC} = \widehat {AHC}\) (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\).
Suy ra HA là tia phân giác của góc BHC
Vậy HA là tia phân giác của góc BHC.
Cho tam giác abc vuông tại A, M là trung điểm của BC, D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì, tại sao?
b) Chứng minh \(DE = \frac{1}{2}BC\)
c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC, chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành.
Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Tam giác vuông ABC ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật?
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính số đo góc B, góc C (làm tròn đến độ) và đường cao AH.
b) Chứng minh rằng AB. cos B + AC . cosC = BC.
c) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = 2DA. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\).
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính độ dài của các vecto:
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BH} } \right|,\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|,\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|\).
Cho tam giác ABC đều cạnh a, tâm O. Hãy tính:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \).
c) \(\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\).
d) \(\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {BC} } \right)\).
Cho hàm số y = ax – 4 . Tìm hệ số a, biết rằng
a) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2;
b) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = –3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5.
Cho tam giác ABC điểm M nằm trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi A’, B’, C’ thứ tự là điểm đối xứng của M qua D, E, F
a) Chứng minh tứ giác AB’A’B là hình bình hành.
b) Gọi O là giao điểm của AA’ và BB’, chứng minh C và C’ đối xứng nhau qua điểm O.
