Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
a) Tính độ dài của MN biết AC = 16cm.
b) Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh tứ giác BMIN là hình bình hành.
c) Trên tia đối của tia NM lấy E sao cho N là trung điểm ME. Gọi K là giao điểm của EI và MC. Chứng minh MC = 3KC.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét ΔABC có: M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC
Do đó: MN là đường trung bình của ∆ABC
Suy ra: MN // AC và \(MN = \frac{{AC}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\) (cm)
b) Xét ∆ABC có M là trung điểm của AB, I là trung điểm của AC
Do đó: MI là đường trung bình của ∆ABC
Suy ra: MI // BC và \(MI = \frac{{BC}}{2}\)
Mà \(BN = \frac{{BC}}{2}\) nên MI // BN và MI = BN
Do đó tứ giác BMIN là hình bình hành
c) Ta có: \(MN = NE = \frac{{AC}}{2} = IC\)
Mà MN // IC nên NE // IC
Do đó tứ giác NECI là hình bình hành
Mà K là giao điểm của EI và MC nên \(\frac{{KC}}{{KM}} = \frac{{IC}}{{ME}} \Rightarrow \frac{{KC}}{{KM}} = \frac{1}{2}\) ⇒ KM = 2KC
Ta có: KM + KC = MC ⇔ 2KC + KC = MC ⇔ 3KC = MC
Vậy 3KC = MC
Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, M là 1 điểm thuộc (O), (M khác A và B). Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C, CD là đường kính của (I). Chứng minh rằng:
a) 3 điểm O, M, D thẳng hàng.
b) Tam giác COD là tam giác cân.
c) Gọi N là giao điểm của OC và (I). Chứng minh khi M thay đổi thì đường thẳng qua N vuông góc với AB luôn đi qua điểm cố định.
Cho đường tròn (O), đường kính BC = 2R, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:
a, 5 điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên 1 đường tròn.
b, 3 điểm M, N, H thẳng hàng.
c, HA . HF = R2 – OH2.
Tìm giá trị của x để đa thức dư trong mỗi phép chia sau có giá trị bằng 0:
a) (3x5 – x4 – 2x3 + x2 + 4x + 5) : (x2 – 2x + 2);
b) (x5 + 2x4 + 3x2 + x – 3) : (x2 + 1).
