Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC. Biết a3(b − c) + b3(c − a) + c3(a − b) = 0. Chứng minh: tam giác ABC cân.
Giải bởi Vietjack
a3(b − c) + b3(c − a) + c3(a − b) = 0
Û a3b − a3c + b3c − ab3 + c3(a − b) = 0
Û a3b − a3c + b3c − ab3 + c3(a − b) = 0
Û ab(a2 − b2) − c(a3 − b3) + c3(a − b) = 0
Û ab(a − b)(a + b) − c(a − b)(a2 + ab + b2) + c3(a − b) = 0
Û (a − b)[ab(a + b) − c(a2 + ab + b2) + c3] = 0
Û (a − b)[ab(a + b) − c(a2 + ab + b2) + c3] = 0
Û (a − b)[ab(a + b) − ac(a + b) + b2c + c3] = 0
Û (a − b)[a(a + b)(b − c) − c(b2 − c2)] = 0
Û (a − b)[a(a + b)(b − c) − c(b − c)(b + c)] = 0
Û (a − b)(b − c)[a(a + b) − c(b + c)] = 0
Û (a − b)(b − c)[(a2 − c2) + (ab − bc)] = 0
Û (a − b)(b − c)[(a − c)(a + c) + b(a − c)] = 0
Û (a − b)(b − c)(a − c)(a + b + c) = 0
Þ (a − b)(b − c)(a − c) = 0
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\a - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right.\)
Vậy ABC là tam giác cân.
Rút gọn biểu thức: cos2 10° + cos2 20° + cos2 30° + ... + cos2 180°.
Cho tam giác ABC có \(\widehat {ABC} = 30^\circ \), AB = 5, BC = 8. Tính \[\overrightarrow {BA} \,.\,\overrightarrow {BC} \].
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh tam giác MAB vuông cân.
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC .
a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE, BOCF là hình vuông
b) Nối EC cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI ^ CD
c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE = 6. Tính độ dài các cạnh của hình vuông ABCD
d) Lấy K là 1 điểm bất kì trên BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác AIK. Chứng minh G thuộc 1 đường thẳng cố định khi K di chuyển trên BC
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.
b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn đó lần lượt tại C và D. Gọi K là giao điểm của BM với Ax. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B và C.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt tia DE tại . Chứng minh \(KI = \frac{1}{6}AE.\)
Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ điểm E đối xứng với B qua điểm C; vẽ F đối xứng với điểm D qua C.
a) Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
b) Chứng minh AC = DE.
c) Gọi H là trung điểm của CD, K là trung điểm của EF. Chứng minh HK // AC.
d) Biết diện tích tam giác AEF bằng 30 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.Cho x + y + z = 0. Rút gọn: \(A = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}}}\).
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right|\), I là trung điểm BC.
Cho tam giác nhọn ABC, \(\widehat B > \widehat C\). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Sắp xếp các đoạn thẳng AB, AH, AC theo thứ tự độ dài tăng dần.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. M là trung điểm OA. N là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt các tiếp tuyến tại A và B tại C và D. Tìm vị trí của N để diện tích tam giác DMC min.
Giải phương trình:
a) sin 5x + sin 8x + sin 3x = 0;
b) \(4{\cos ^3}x + 3\sqrt 2 \sin 2x = 8\cos x\).
