Cho hàm số f(x) thỏa mãn \[f\left( 2 \right) = - \frac{2}{9}\]và f ′(x) = 2x[f(x)]2 với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Tính giá trị của f(1).
Giải bởi Vietjack
Ta có: \[\smallint \frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx = \smallint 2xdx \Rightarrow - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + C\]
Vì \[f\left( 2 \right) = - \frac{2}{9} \Rightarrow C = \frac{1}{2}\]nên \[f\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{x^2} + \frac{1}{2}}} \Rightarrow f\left( 1 \right) = - \frac{2}{3}\]
Vậy \[f\left( 1 \right) = - \frac{2}{3}\].Cho hình chữ nhật ABCD (AB > BC). Từ B kẻ BH vuông góc với AC tại H. Lấy E sao cho H là trung điểm BE, lấy Q đối xứng với C qua H. QE cắt DC tại M. Gọi N là hình chiếu của E trên AD, MN cắt DE tại O. Chứng minh tam giác OEM là tam giác cân.
Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [−2017;2017] để phương trình:
log(mx) = 2log(x + 1) có nghiệm duy nhất?
Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 4, diện tích xung quanh bằng 20π. Tính thể tích khối nón đã cho.
Một trong các bạn A, B, C và D làm vỡ kính cửa sổ. Khi được hỏi, họ trả lời như sau:
A: “C làm vỡ”.
B: “Không phải tôi”.
C: “D làm vỡ”.
D: “C đã nói dối”.
Nếu có đúng một người nói thật thì ai đã làm vỡ cửa số.
Tìm m để phương trình: x2 + mx – 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 cùng nhỏ hơn 1.
Tích tất cả các nghiệm của phương trình \[\log _3^2x - 2{\log _3}x - 7 = 0\] là?
Cho tam giác ABC, có bao nhiêu điểm M thỏa mãn: \[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3?\]
Chứng minh định lí: “Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông”.
Có bao giá trị nguyên của tham số m để phương trình:
4x – m.2x + 1 + 2m2 – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt?
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số:
y = ∣3x4 + 8x3 − 6x2 − 24x − m∣ có 7 điểm cực trị.
Cho x, y thỏa mãn x – 2y + 2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[T = \sqrt {{{(x - 3)}^2} + {{(y - 5)}^2}} + \sqrt {{{(x - 5)}^2} + {{(y - 7)}^2}} \].
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết thể tích của khối chóp bằng \[\frac{{{a^3}}}{6}\]. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp của hình chóp S.ABC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \[2\sqrt 2 \], cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt các cạn SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.
