Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 1}}\). Xác định m để đường thẳng y = mx + m − 1 luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc về hai nhánh của đồ thị.
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\) .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng đã cho là:
\(\frac{{x + 2}}{{2x + 1}} = mx + m - 1\)
Þ x + 2 = 2mx2 + (3m − 2)x + m − 1
Û 2mx2 + (3m − 3)x + m − 3 = 0.
Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 3} \right)^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne - 3\end{array} \right.\;\;\left( {**} \right)\)
Giả sử 2 giao điểm là: A(x1; mx1 + m − 1) và B(x2; mx2 + m − 1)
Theo đinh lí Vi-et, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{3 - 3m}}{{2m}}\\{x_1}{x_2} = \frac{{m - 3}}{{2m}}\end{array} \right.\)
Đồ thị có \(x = - \frac{1}{2}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.
Để 2 điểm thuộc về 2 nhánh của đồ thị thì:
\(\left( {m{x_1} + m - 1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {m{x_2} + m - 1 - \frac{1}{2}} \right) < 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2}{x_1}{x_2} + m\left( {m - \frac{3}{2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2} < 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2}\,.\,\frac{{m - 3}}{{2m}} + m\,.\,\frac{{2m - 3}}{3}\,.\,\frac{{3 - 3m}}{{2m}} + \frac{{{{\left( {2m - 3} \right)}^2}}}{4} < 0\)
Û −6m + 2m2 + 15m − 6m2 − 9 + 4m2 − 12m + 9 < 0
Û 9m > 0 Û m > 0.
Kết hợp với (**) suy ra m > 0.
Cho hàm số: y = 3 − 5sin x, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là M và m. Tính \(\frac{M}{m}\).
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = 2a, \(\widehat {BAC} = 120^\circ ,\;\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = 90^\circ \). Biết góc giữa SB và đáy bằng 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Tìm m để y = x3 − 3x2 + mx − 1 có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 3.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 22x + 1 − 2x + 3 − 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt?
Cho ba điểm A(2; 2), B(3; 5), C(5; 5). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành.
Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này.
Cho y = 2x + m + 1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
Cho đường tròn (O; R). Có bao nhiêu phép vị tự biến (O; R) thành chính nó?
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại M, N (F nằm giữa M và E). Chứng minh rằng: .
Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau: \(y = 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \).
Với tất cả các giá trị thực nào của tham số m thì hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x nghịch biến trên đoạn [0; 1]?
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (3 − 5sin x)2018 là M và m. Khi đó giá trị M + m là:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?