Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có $AB=a\sqrt{3},AD=a$( tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng AB và A'C' bằng

Gieo một đồng tiền cân đối, đồng chất ba lần. Xác suất để trong ba lần gieo có đúng hai lần xuất hiện mặt ngửa là

Cho hình chóp tam giác đều SABC có AB =a, khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ (tham khảo hình vẽ).

Thể tích khối chóp SABC bằng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biết tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn $\left|z-1+i\right|=\left|z+2i\right|$ là đường thẳng d. Phương trình đường thẳng d là

Cho hàm số f(x), g(x) liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau sai?

Xét các số phức z thỏa mãn $\left|z+2-4i\right|+\left|z-3+i\right|=5\sqrt{2}$. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left|z+i\right|-\left|z-3-3i\right|$ có dạng $\sqrt{a}-\sqrt{b};a,b\in \mathbb{N}$. Giá trị của biểu thức a -b bằng

Trong không gian Oxyz, hình chiếu của điểm A(1;2-1) trên mặt phẳng (Oxy) là điểm nào dưới đây?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2\left(x^2-2x\right)$, $\forall x\in ℝ$. Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^3-3x^2+m\right)$ có 8 điểm cực trị là

Đặt $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\left(2x+1\right)e^x+2a{x}^2+a}{e^x+ax}\text{\hspace{0.17em}d}x$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc khoảng (0;2023) để $I>6$?

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_2\frac{2xy+3x+3y+4}{x^2+xy+y^2}=x\left(2x-3\right)+y\left(2y-3\right)-3$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $F=x+y-1$.

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x}{x+1}$ là

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [1;2], f(1)=1 và f(2)=2. Tính $I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-4x+2y+2z-3=0$ có bán kính bằng

Trên tập số phức, xét phương trình $z^2-2\left(m+1\right)z+m^2+4m+3=0$ (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn ${\left(z_1-z_2\right)}^2+2m=z_1+\overline{z_2}$.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(-15;7;-11\right),B\left(-3;1;1\right),C\left(7;-1;5\right)$ và đường thẳng $\left(d\right):\frac{x-1}{-1}=\frac{y+1}{4}=\frac{z+1}{1}$. Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng chứa (d) sao cho A,B,C ở cùng phía đối với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Gọi d1,d2,d3 lần lượt là khoảng cách từ A,B,C đến $\left(\alpha \right)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T=d_1+2d_2+3d_3$ bằng

Cho cấp số cộng (un) với u1= 2 công sai d = -2. Giá trị u5 bằng