Cho bốn số nguyên dương phân biệt sao cho tổng của mỗi hai số chia hết cho 2 và tổng của mỗi ba số chia hết cho 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bốn số này?
Giải bởi Vietjack
Gọi 4 số cần tìm là a, b, c, d (a, b, c,d ∈ ℕ*; a < b < c < d)
Tổng của mỗi 2 số chia hết cho 2
⇒ a, b, c, d đồng dư với nhau theo môđun 2
Hay a ≡ b ≡ c ≡ d (mod 2)
Tổng của mỗi 3 số chia hết cho 3
⇒ a, b, c, d đồng dư với nhau theo mô đun 3
Hay a ≡ b ≡ c ≡ d(mod 3)
Ta có nếu hai số đồng dư với nhau theo nhiều môđun thì chúng đồng dư với nhau theo môđun là BCNN của các môđun ấy nên: a ≡ b ≡ c ≡ d (mod 6)
Vì cần tìm giá trị nhỏ nhất của 4 số thoả mãn nên ta chọn a là số nguyên dương nhỏ nhất hay a = 1
b = a + 6 = 7
c = b + 6 = 13
d = c + 6 = 19
Vậy 4 số nguyên dương phân biệt nhỏ nhất thoả mãn là 1; 7; 13; 19.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, K là trung điểm của AD. Gọi I là hình chiếu của điểm D trên CK. Chứng minh rằng .
Cho đa thức P(x) với các hệ số nguyên thỏa mãn P(2021).P(2022) = 2023.
Chứng minh rằng đa thức P(x) - 2024 không có nghiệm nguyên.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đúng 3 điểm cực trị.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
a) (SBM) và (SCD);
b) (ABM) và (SCD);
c) (ABM) và (SAC).
Cho 2 tập hợp M = [2m − 1; 2m + 5] và N = [m + 1; m + 7] (với m là tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị của m để hợp của 2 tập hợp M và N là 1 đoạn có độ dài bằng 10.
Cho hàm số y = x – 2 có đồ thị là đường thẳng (d).
a, Vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b, Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với Ox, Oy. Tính diện tích tam giác OAB (đơn vị đo trên các trục tọa độ centimet).
c, Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) và đường thẳng (d1): y = -2x + m² - 3 cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Thiết diện của hình chóp S.ABCD và mặt phẳng (AMN) là hình gì?
Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).
b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).
Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M, N là giao điểm của AI, CK với BD. Chứng minh: ∆ADM = ∆CBN.
Cho cấp số cộng (un) và gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết S7 = 77, S12 = 192. Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó?
Hình vẽ cho biết tam giác ABC vuông tại A, MN // BC, AB = 24cm, AM = 16cm, AN = 12cm. Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng NC, BC.
Cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3; …; 108,9; 110,0
a) Dãy số có bao nhiêu số hạng?
b) Số hạng thứ 30 của dãy là bao nhiêu?
Cho hai tập hợp E = (2;5] và F = [2m - 3; 2m + 2]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để E hợp F là một đoạn có độ dài bằng 5.
Cho hình bình hành ABCD với AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE, MF cắt BC tại N.
a) Tứ giác MNCD là hình gì?
b) Tam giác EMC là tam giác gì?
c) Chứng minh: .
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn (I) đường kính OA. Bán kính OC của đường tròn (I) cắt đường tròn (I) tại O. Vẽ CH ⊥ AB. Chứng minh tứ giác ACDH là hình thang cân.
