Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC.  Gọi N là trung điểm của AC.  Lấy điểm D trên tia BN sao cho BN = ND. Kẻ $AP\perp BC,CQ\perp AD.$

a) Chứng minh N là trung điểm của PQ.

b) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ABCD là hình vuông.

Bạn Hà làm một cái lồng đèn hình quả trám (xem hình bên) là hình ghép từ hai hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 20 cm, cạnh bên 26 cm, khoảng cách giữa hai đỉnh của hai hình chóp là 30 cm.

a) Tính thể tích của lòng đèn.

Hàm chi phí đơn giản nhất là hàm chi phí bậc nhất y = ax + b trong đó b biểu thị chi phí cố định của hoạt động kinh doanh và hệ số a biểu thị chi phí của mỗi mặt hàng được sản xuất. Giả sử rằng một xưởng sản xuất xe đạp có chi phí cố định hằng ngày là 36 triệu đồng và mỗi chiếc xe đạp có chi phí sản xuất là 1,8 triệu đồng.

a) Viết công thức của hàm số bậc nhất biểu thị chi phí y (triệu đồng) để sản xuất x (xe đạp) trong một ngày.

b) Có thể sản xuất bao nhiêu chiếc xe đạp trong ngày, nếu chi phí trong ngày đó là 72 triệu đồng?

Cho biểu thức $N=\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}+\frac{x^2}{x^2-1}\right)\cdot \frac{x-1}{2+x}.$

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức N

b) Rút gọn biểu thức N

c) Tính giá trị của biểu thức N khi |x| = 2

Cho điểm A và B trong mặt phẳng tọa độ Oxy như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Biểu thức cần điền vào chỗ trống để có hằng đẳng thức $x^3+1=\left(x+1\right)\left(x^2-\mathrm{...}+1\right)$ đúng là

Cho phân thức $\frac{A}{B}$ với $B\ne 0.$ Nhận định nào sau đây là đúng?

Góc tạo bởi đường thẳng $y=-2x+1$ với trục Ox là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=2x^2-1.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hai đường thẳng $d:y=ax+b\left(a\ne 0\right)$ và $d^{\text{'}}:y=a^{\text{'}}x+b^{\text{'}}\left(a^{\text{'}}\ne 0\right).$ Với điều kiện nào sau đây thì hai đường thẳng d và d’ song song?

Một hình thang vuông có một góc bằng $75°,$ góc còn lại không vuông của hình thang đó có số đo là

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $12x^4{y}^3+12x^3{y}^3+3x^2{y}^3.$                    b) $x^4+x{y}^3-x^{3}y-y^4.$

Cho hai số x, y khác 0 thỏa mãn $x^2+\frac{8}{x^2}+\frac{y^2}{8}=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=xy+2024.$

Cho các đơn thức $A=\left(\mathrm{0,3}+\pi \right)x^{2}y;$  $B=\frac{1}{2}xy{x}^{2}z;$ $C=-xyx{z}^2$và  $D=\left(\sqrt{2}+1\right)x{y}^{2}z.$ Hai đơn thức thu gọn trong các đơn thức đã cho là:

Phân thức đối của phân thức $\frac{3x}{x+y}$ là

Tổng số cạnh bên và cạnh đáy của một hình chóp tứ giác đều là