Cho hai biểu thức:

$A=\frac{x}{\sqrt{x}+1}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}+\frac{x+5}{x-1}$ với $x\ge 0;x\ne 1.$

1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=\frac{1}{64}.$

2) Chứng minh $B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}.$

3) Xét biểu thức P = A.B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\sqrt{P}.$

Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB. Gọi Ax là tia tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm M bất kì sao cho AM > R, MB cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là K. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với MO tại I, AI cắt nửa đường tròn tại C (C khác A). Qua C kẻ CH vuông góc với $AB\left(H\in AB\right),$ CH cắt MB tại N

1) Chứng minh bốn điểm A, I, K, M cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chúng minh $\widehat{IKB}=\widehat{ACH}$ và IN // AB

3) Đường thẳng qua H và song song với AC cắt BI tại P. Chứng minh $NP\perp AC.$

Đầu năm 2022, hai công ty chế biến nông sản dự định xuất khẩu tổng cộng 3 000 tấn nông sản. Do thực tế dịch bệnh Covid-19 diễn biến phức tạp nên sản lượng xuất khẩu nông sản của công ty thứ nhất giảm 15% công ty thứ hai giảm 10%. Vì vậy, cả hai công ty chỉ xuất khẩu được 2 640 tấn nông sản. Hỏi ban đầu, mỗi công ty dự định xuất khẩu bao nhiêu tấn nông sản?

Cho phương trình bậc hai $x^2-\left(m+2\right)x+2m=0$ (m là tham số).

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm $x_1,x_2$ với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2+\left(m+2\right)x_2=12.$

1) Bác Tiến chia số tiền 400 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 27 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là \(6\% /\)năm và khoản đầu tư thứ hai là \(8\% /\)năm. Tính số tiền bác Tiến đầu tư cho mỗi khoản.

2) Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 300 sản phẩm cùng loại trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 10 sản phẩm so với số sản phẩm dự định làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).

3) Biết rằng phương trình bậc hai \({x^2} - 3x + a = 0\) có một nghiệm là \[x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}.\] Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật \(ABCD\) cùng loại, có chiều dài 10 m và chiều rộng 6 m; với \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \[AD,\,\,BC\] (hình 1).

Mỗi lớp sử dụng tấm bạt như trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (hình 2); hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân: tam giác \(AMD\) và tam giác \(BNC,\) với độ dài cạnh đáy của hai tam giác cân này là \(x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\) (Tấm bạt chỉ sử dụng để dựng thành hai mái lều, không trải thành đáy lều). Tìm \(x\) để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.

1) Sau khi điều tra số học sinh trong 40 lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [40, 42)

2) Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12 phần bằng nhau và ghi các số \(1,\,\,2,\,\,3,\,\, \ldots ,\,\,11,\,\,12;\) chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa.

Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố \(M:\) “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4”. Tính xác suất của biến cố