Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right),n \in \mathbb{N}*$, thỏa mãn điều kiện $\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 3 \hfill \\
{u_{n + 1}} = - \frac{{{u_n}}}{5} \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Gọi ${S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}$ là tổng $n$ số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Tính \[\lim {S_n}\].
Giải bởi Vietjack
Có $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{ - \frac{{{u_n}}}{5}}}{{{u_n}}} = - \frac{1}{5}$.
Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right),n \in {\mathbb{N}^*}$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có ${u_1} = 3;q = - \frac{1}{5}$.
Số hạng tổng quát ${u_n} = 3.{\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n - 1}}$.
Do đó ${S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = 3.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{1}{5}} \right)}^n}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{5}} \right)}}$
Do đó \[\lim {S_n} = \lim \left[ {3.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{1}{5}} \right)}^n}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{5}} \right)}}} \right]\]\[ = \frac{3}{{1 - \left( { - \frac{1}{5}} \right)}} = \frac{5}{2}\]. Vì $\lim {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} = 0$.
Tính giá trị $\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right)$ biết $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $.
Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo khoác. Người điều tra yêu cầu cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm là $100.$ Kết quả được trình bày trong bảng ghép nhóm sau:
|
Nhóm |
$\left[ {50;60} \right)$ |
$\left[ {60;70} \right)$ |
$\left[ {70;80} \right)$ |
$\left[ {80;90} \right)$ |
$\left[ {90;100} \right)$ |
|
|
Tần số |
$4$ |
$5$ |
$23$ |
$6$ |
$2$ |
$N = 40$ |
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị
Cho hai mặt phẳng phân biệt $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$, đường thẳng $a \subset \left( P \right)$; $b \subset \left( Q \right)$. Tìm khẳng định sai trong các mệnh đề sau.
Mẫu số liệu sau cho biết cân nặng của học sinh lớp 11 trong một lớp
|
Cân nặng (kg) |
Dưới 55 |
Từ 55 đến 65 |
Trên 65 |
|
Số học sinh |
23 |
15 |
2 |
Số học sinh của lớp đó là bao nhiêu?
Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở lô hàng A được cho ở bảng sau:
|
Cân nặng (g) |
$\left[ {150;155} \right)$ |
$\left[ {155;160} \right)$ |
$\left[ {160;165} \right)$ |
$\left[ {165;170} \right)$ |
$\left[ {170;175} \right)$ |
|
Số quả cam lô hàng A |
3 |
1 |
6 |
11 |
4 |
Nhóm chứa mốt là nhóm nào?
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy$ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$. Đường thẳng \[IJ\] song song với đường thẳng nào?
Cho các giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 2$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 3$, hỏi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right]$ bằng
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}}$
Để chuẩn bị cho đồ án tốt nghiệp, một sinh viên y khoa đã khảo sát huyết áp tối đa của một số bệnh nhân và lập được bảng tần số ghép nhóm sau:
|
Huyết áp |
Tần số |
|
$\left[ {90;110} \right)$ |
6 |
|
$\left[ {110;130} \right)$ |
20 |
|
$\left[ {130;150} \right)$ |
35 |
|
$\left[ {150;170} \right)$ |
45 |
|
$\left[ {170;190} \right)$ |
30 |
|
$\left[ {190;210} \right)$ |
16 |
Tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên.
Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x - 1}}.$
