Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = x\left( {\sqrt {12 - 3{x^2}} + 1 - {x^2}} \right)\), với \(x\) là số thực thỏa mãn \(0 \le x \le 2\).
Giải bởi Vietjack
Ta có \(P = x\left( {\sqrt {12 - 3{x^2}} + 1 - {x^2}} \right) = x\sqrt {12 - 3{x^2}} + x - {x^3}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(x\sqrt {12 - 3{x^2}} = \frac{{2 \cdot 3x\sqrt {12 - 3{x^2}} }}{6} \le \frac{{9{x^2} + 12 - 3{x^2}}}{6} = {x^2} + 2\).
Suy ra \[P \le {x^2} + 2 + x - {x^3} = - {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) + 3 \le 3\].
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\).
Từ điểm \(P\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) kẻ hai tiếp tuyến \[PA,{\rm{ }}PB\] của đường tròn \((A,\,\,B\) là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \[PO\] và \[AB.\]
1) Chứng minh tứ giác \[PAOB\] nội tiếp.
2) Chứng minh \(P{A^2} = PH \cdot PO.\)
3) Điểm \(N\) trên cung lớn \[AB\] của đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho tam giác \[NAB\] nhọn và \(NA > NB.\) Đường thẳng \[PN\] cắt \(\left( O \right)\) tại điểm \(M\) khác \(N.\) Chứng minh \(\widehat {OMN} = \widehat {OHN}\).
1) Nhân dịp Quốc tế thiếu nhi, trường trung học cơ sở \(A\) tổ chức đi thăm và trao quà cho các em tại một mái ấm tình thương. Ban tổ chức giao cho một nhóm học sinh chuyến 120 phần quà lên khu vực trao quà. Tuy nhiên, khi thực hiện thì có 2 học sinh được phân công làm việc khác, nên mỗi học sinh còn lại trong nhóm phải chuyển nhiều hơn so với đự kiến 2 phần quà. Tính số học sinh trong nhóm dự kiến lúc đầu.
1) Giải phương trình: \({x^2} - 7x + 12 = 0\).
2) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y = 3}\\{x + 2y = 8}\end{array}} \right.\).
3) Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{3}{{2 - \sqrt 3 }} - \sqrt {75} + \frac{{2\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }}\).
Cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( a \right):y = - mx + 3\) (với \(m\) là tham số).
1) Vẽ parabol \(\left( P \right)\).
2) Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(\left( d \right)\) thỏa mãn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1},\,\,{x_2}\] thỏa mãn \({x_1}\left( {x_2^2 - 6} \right) = 24\).
