Cho hàm số \(\left( C \right)\): \(y = \frac{{{x^2} - 3x + m}}{{x - 1}}.\)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) với \(m =  - 4.\)

b) Với \(m = 2\), tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(\left( C \right)\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\).

a) Với \(m =  - 4\), ta có: \(\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}}\).

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} =  + \infty .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} =  - \infty .\)

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} =  - \infty ,\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} =  + \infty \), do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2x - 4}}{{x - 1}} =  - 2\).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = x - 2\) làm tiệm cận xiên.

Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} - 2x + 7}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D.\)

Từ đây ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0;4} \right).\)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(\left( {4;0} \right),\left( { - 1;0} \right).\)

Đồ thị đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 2} \right);\left( {2; - 6} \right);\left( {3; - 2} \right);\left( {5;\frac{3}{2}} \right)\).

Đồ thị nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = x - 2\) làm tiệm cận xiên.

Ta có đồ thị hàm số:

b) Với \(m = 2\), ta có: \(\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 1 > 0,\forall x \in D.\)

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên \(\left[ {2;3} \right]\).

Xét trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\), ta tính được các giá trị sau: \(y\left( 2 \right) = 0,y\left( 3 \right) = 1.\)

Vậy với \(m = 2\), giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) bằng \(1\) và giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) bằng \(0.\)