Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có độ dài tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Đáy \(ABCD\) có tâm là \(O\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {SO} \).
b) \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \).
c) \(\left( {\overrightarrow {SA} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = 45^\circ \).
d) \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {AC} = - {a^2}\).
Giải bởi Vietjack
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.
Hướng dẫn giải
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên đáy \(ABCD\) là hình vuông.
Suy ra tâm \(O\) là trung điểm của các đường chéo \(AC\) và \(BD\).
Do đó, \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \).
Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \) nên ý a) sai.
Với điểm \(S\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \\\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \end{array} \right.\). Suy ra \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \) nên ý b) đúng.
Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là \(a\) nên độ dài đường chéo \(AC\) là \(a\sqrt 2 \). Tam giác \(SAC\) có \(SA = SC = a\) và \(AC = a\sqrt 2 \) nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(S\), suy ra \(\widehat {SAC} = 45^\circ \). Do đó, \(\left( {\overrightarrow {SC} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = 180^\circ - \widehat {SAC} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).
Suy ra \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos 135^\circ = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = - {a^2}\).
Vậy ý c) sai và ý d) đúng.
Ngân có một tấm giấy màu có dạng nửa hình tròn bán kính 8 cm. Ngân cần cắt từ tấm giấy màu này ra một tấm giấy hình chữ nhật có một cạnh thuộc đường kính của nửa hình tròn (xem hình dưới) sao cho diện tích của tấm bìa được cắt ra là lớn nhất. Giá trị lớn nhất của diện tích tấm bìa đó là bao nhiêu centimét vuông?
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình dưới?
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có hai đáy là các tam giác đều như hình dưới.
Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \) bằng
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\) và có bảng biến thiên như sau:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên mỗi khoảng \[\left( { - \infty ; - 4} \right)\] và \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).
b) Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là \({y_{CT}} = - 6\).
c) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị lớn nhất bằng \(2\) và giá trị nhỏ nhất bằng \( - 6\).
d) Công thức xác định hàm số là \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) và có đồ thị như hình dưới đây.
Phương trình đường tiệm cận đứng và phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị đã cho là
Xác định \(a,\,b,\,c\) để hàm số \(y = \frac{{ax - 1}}{{bx + c}}\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Chọn đáp án đúng.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\).
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Quan sát bảng biến thiên dưới đây và cho biết bảng biến thiên đó là của hàm số nào?
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\).
a) Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
b) Hàm số đã cho có 2 cực trị.
c) Đồ thị hàm số nhận điểm \(I\left( {2;2} \right)\) là tâm đối xứng.
d) Có 5 điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên.
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {A'D} = \overrightarrow {BC'} \).
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} \).
c) \(\overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {C'D'} + \overrightarrow {A'A} \).
d) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {A'B'} \) bằng \(45^\circ \).
