Giả sử \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}\] với \[x > - 3\] sao cho \[F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\]. Giá trị của \[F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right)\] bằng
A. \[\frac{2}{3}\ln 2 + \frac{5}{6}\ln 5.\]
B. \[0.\]
C. \[\frac{7}{3}\ln 2.\]
D. \[\frac{{10}}{3}\ln 2 - \frac{5}{6}\ln 5.\]
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 3} \right)\\dv = \frac{{dx}}{{{x^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{{x + 3}}\\v = \frac{1}{x}\end{array} \right.\]
Ta có: \[\int {\frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}} dx = - \frac{1}{x}\ln \left( {x + 3} \right) + \int {\frac{{dx}}{{x\left( {x + 3} \right)}}} \]
Đặt \[I = \int {\frac{{dx}}{{x\left( {x + 3} \right)}}} = \frac{1}{3}\int {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 3}}} \right)dx = \frac{1}{3}\ln \left| x \right| - \frac{1}{3}\ln \left| {x + 3} \right| = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right|} \].
Suy ra \[F\left( x \right) = - \frac{1}{x}\ln \left( {x + 3} \right) + \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right| + C.\]
Lại có \[F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\]
\[\left( {\frac{1}{3}\ln 2 + C} \right) + \left( { - \ln 4 + \frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} + C} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2C = \frac{7}{3}\ln 2 \Leftrightarrow C = \frac{7}{6}\ln 2.\]
Suy ra \[F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right) = \ln 2 + \frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 5 + \frac{1}{3}\ln \frac{2}{5} + \frac{7}{3}\ln 2 = \frac{{10}}{3}\ln 2 - \frac{5}{6}\ln 5.\]
Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + 2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.\] Tính \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right).\]
Hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[y = \ln x\] nếu
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}\] là
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)\]
Cho các mệnh đề dưới đây:
(I). \[F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.\]
(II). \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{6} + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}\].
(III). \[F\left( x \right) = \frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C\] là nguyên hàm của hàm số
\[f\left( x \right) = \frac{{2{x^3}\sqrt x }}{7} - 2{x^2}\sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x + C.\]
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
Biết \[\int {\sin 3x{e^x}dx = F\left( x \right) + C} \] và \[F\left( 0 \right) + C = 1\]. Khi đó C bằng
Biết \[F\left( x \right) = \sin x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right).{e^x}\]. Biết hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f'\left( x \right).{e^x}\].
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f\left( 1 \right) = 1\] và \[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}f'\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Giá trị của \[f\left( 2 \right)\] bằng
Hàm số \[F\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x + 1\] là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = x + \sin x\] và \[f\left( 0 \right) = 1\]. Tìm \[f\left( x \right)\]
