Cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + 2z - 5 = 0\]; \[\left( Q \right):4x - 2y + 4z + 1 - m = 0\] và điểm \[M\left( {2;1;5} \right)\]. Khi đó:
a) Khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng \[\frac{8}{3}.\]
b) Với \[m = 0\] thì khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[\left( Q \right)\] bằng \[\frac{9}{2}.\]
c) Với \[m = 3\] thì khoảng cách giữa mặt phẳng \[\left( P \right)\] và mặt phẳng \[\left( Q \right)\] bằng \[3.\]
d) Có hai giá trị của \[m\] để khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[\left( Q \right)\] bằng 1. Khi đó tổng của tất cả các giá trị \[m\] bằng 5.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
a) Ta có: \[d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.5 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{8}{3}.\]
Vậy ý a đúng.
b) Ta có: \[d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.2 - 2.1 + 4.5 + 1 - m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {27 - m} \right|}}{6}.\]
Với \[m = 0\] thì \[d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {27 - 0} \right|}}{6} = \frac{9}{2}.\]
Vậy ý b đúng.
c) Với \[m = 3\] thì \[\left( Q \right):4x - 2y + 4z - 2 = 0\].
Nhận thấy \[\frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{2}{4} \ne \frac{{ - 5}}{{ - 2}}\] do đó \[\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\].
Có \[\left( Q \right):4x - 2y + 4z - 2 = 0\]\[ \Leftrightarrow 2x - y + 2z - 1 = 0\]
Suy ra \[d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 5 - \left( { - 1} \right)} \right|}}{3} = 2.\]
Vậy ý c sai.
d) Ta có: \[d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.2 - 2.1 + 4.5 + 1 - m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {27 - m} \right|}}{6}.\]
Để \[d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 1\] thì \[\frac{{\left| {27 - m} \right|}}{6} = 1\].
\[\left| {27 - m} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 21\\m = 33\end{array} \right.\].
Vậy có 2 giá trị \[m\] để khoảng cách từ \[M\] đến \[\left( Q \right)\] bằng 1. Và tổng của hai giá trị là 54.
Vậy ý d sai.
III. Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):2x + my + 3z - 5 = 0\] và \[\left( Q \right):nx - 8y - 6z + 2 = 0\] với \[m,n \in \mathbb{R}\]. Xác định \[m,n\] để \[\left( P \right)\] song song với \[\left( Q \right)\].
Trong không gian \[Oxyz\], mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\] đi qua điểm nào dưới đây?
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\]. Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\]?
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[M\left( { - 1;2;0} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\]: \[2x - 2y + z + 1 = 0\]. Khoảng cách từ điểm \[M\] đến mặt phẳng \[\left( P \right)\] là
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + 2z - 4 = 0\]. Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[M\left( {3;1; - 2} \right)\] lên mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Độ dài đoạn thẳng \[MH\] là
I. Nhận biết
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\]?
Trong không gian \[Oxyz\], khoảng cách giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0\] và \[\left( Q \right):x + 2y + 3z + 6 = 0\] là
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( \alpha \right):2x + y + z + 1 = 0\]. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
II. Thông hiểu
Trong không gian \[Oxyz\], phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua điểm \[A\left( {2;1;3} \right)\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {2;3; - 1} \right)\] là
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {3; - 2; - 2} \right)\], \[B\left( {3;2;0} \right)\], \[C\left( {0;2;1} \right)\]. Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là
Trong không gian \[Oxyz\], cho \[A\left( {0;1;1} \right)\], \[B\left( {1;2;3} \right)\]. Viết phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[A\] và vuông góc với đường thẳng \[AB\].
Cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):3x - 2y + 2z + 7 = 0\] và \[\left( Q \right):5x - 4y + 3z + 1 = 0\]. Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] là
Trong không gian \[Oxyz\], mặt phẳng đi qua điểm \[M\left( {1;3; - 2} \right)\] và song song với mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\] là
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho \[\left( P \right):ax + by + cz - 27 = 0\] đi qua hai điểm \[A\left( {3;2;1} \right)\] và \[B\left( { - 3;5;2} \right)\] và vuông góc với \[\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0\]. Tính tổng \[S = a + b + c.\]
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {0;1;2} \right),B\left( {2; - 2;0} \right),\] \[C\left( { - 2;0;1} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[A\], trực tâm \[H\] của tam giác \[ABC\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có phương trình là
