Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sin 4\alpha - 2 \sin 2\alpha }{\sin 4\alpha + 2 \sin \alpha }$

Cho hình chóp S.ABC. Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua A và song song với BC. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Tính tỉ số $\frac{SM}{SB}$ biết $\left(\alpha \right)$ chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau

Cho hàm số f(x)= x³-3x+m+2 Có bao nhiêu số nguyên dương m < 2018 sao cho với mọi bộ ba số thực $a,b,c \in \left[-1;3\right]$ thì f(a),  f(b), f(c) là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn

Một chất điểm chuyển động với vận tốc v=30(m/s) thì đột ngột thay đổi gia tốc a(t)= 4-t (m/s²). Tính quãng đường đi được từ thời điểm thay đổi gia tốc đến thời điểm vận tốc nhỏ nhất

Khi x thay đổi trong khoảng $\left(\frac{5\mathrm{\pi }}{7}; \frac{7\mathrm{\pi }}{4}\right)$ thì y = sinx có giá trị thuộc

Cho tứ diện S.ABC. Gọi D là điểm trên SA, E là điểm trên SB và F là điểm trên AC (DE và AB không song song). Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (DEF).

Trong không gian cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng

Cho tứ giác lồi ABCD có $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=90°, \widehat{BAD}=120°$ và $BD=a\sqrt{3}$ Tính AC

Cho hàm số: y=x^-3-3(m+1)x²+9x+m-2 (1) có đồ thị là (C_m). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để (C_m) có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y=1/2x ?

Một quả bóng cao su được thả từ đọ cao 81m. Mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên 2/3 độ cao của lần rơi trước. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy lên nữa

Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có thể tích bằng V. Tỷ số $\frac{a^3}{V}$ gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

Tìm giá trị của tham số m để hàm số y=2x⁴-4mx²-1 có hai cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của đồ thị bằng 8

Cho hình trụ (T) có bán kính đáy R, trục OO’ bằng 2R và mặt cầu (S) có đường kính là OO’. Gọi S₁ là diện tích mặt cẩu (S), S₂ là diện tích toàn phần của hình trụ (T). Khi đó $\frac{S_1}{s_2}$ bằng?

Có một mảnh bìa hình chữ nhật ABCD với AB=4a, AD=2a. Người ta đánh dấu M là trung điểm của AB, N và P là các điểm thuộc CD sao cho DN = CP = a. Sau đó người ta cuốn mảnh bìa lại sao cho cạnh BC trùng với cạnh AD tạo thành một hình trụ. Tính thể tích của tứ diện AMNP với các đỉnh A, M, N, P nằm trên hình trụ vừa tạo thành

Cho một vật thể có dạng như hình vẽ. Ba cạnh là ba đường parabol giống nhau, mọi mặt phẳng vuông góc với đường cao SO của vật thể đều cắt nó theo thiết diện là tam giác đều. Mặt phẳng trung trực của đường cao cắt vật thể theo thiết diện là tam giác đều có cạnh bằng 4$\sqrt{3}m$ Đáy là tam giác đều có cạnh bằng 6$\sqrt{3}m$

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A có AC=2a và $\widehat{ABC}=30°$ Độ dài đường sinh của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục AB là