Một hình vuông $ABCD$ có cạnh $AB=a.$, diện tích $S_1.$ Nối 4 trung điểm $A_1,B_1,C_1,D_1$ theo thứ tự của 4 cạnh $AB,BC,CD,DA$ ta được một hình vuông thứ hai $A_1,B_1,C_1,D_1$ có diện tích $S_2$. Tiếp tục như vậy ta được hình vuông thứ 3 là có diện tích $S_3$ và cứ như thế ta được $S_4,S_5$,... Tính giá trị của $S=S_1+S_2+S_3+\mathrm{...}+S_{100}$

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=\sin x,y=\cos x$ và hai đường thẳng $x=0,x=\frac{\pi }{2}$?

Một công ty dự kiến làm một ống thoát nước thải hình trụ dài 1km, đường kính trong của ống (không kể lớp bê tông) bằng 1m; độ dày của lớp bê tông bằng 10cm. Biết rằng cứ một khối bê tông phải dùng 10 bao xi măng. Số bao xi măng công ty phải dùng để xây dựng đường ống thoát nước gần đúng với số nào nhất?

Tập xác định của hàm số $y={\log }_2\left(-x^2+4x-3\right)$ là:

Gọi $A\left(x_0;y_0\right)$ là một giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2$ và đường thẳng $y=x+2$. Tính hiệu $y_0-x_0$

Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật gia gồm phần dạng hình trụ (có tổng diện tích vải là $S_1$) và phần dạng hình vành khăn (có tổng diện tích vải là $S_2$) với các kích thước như hình vẽ. Tính tổng $r+d$ sao cho biểu thức $P=3S_2-S_1$ đạt giá trị lớn nhất. (Không kể viền, mép, phần thừa).

Hàm số $y={2017}^x$ có đạo hàm là:

Đạo hàm của hàm số$y=x\sin x$ bằng

Cho hàm số $y=\frac{x^2+1}{x^2+\left|x\right|-2}$. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là

Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định trên $\left[a;b\right]$. Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định sau?

(I) Nếu $f\left(x\right)$ liên tục trên $\left(a;b\right)$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$ thì phương trình $f\left(x\right)=0$ không có nghiệm trên $\left(a;b\right)$

(II) Nếu $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$ thì hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\left(a;b\right)$

(III) Nếu $f\left(x\right)$ liên tục trên $\left(a;b\right)$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$ thì phương trình $f\left(x\right)=0$ có ít nhất một nghiệm trên $\left(a;b\right)$

(IV) Nếu phương trình $f\left(x\right)=0$ có nghiệm trên $\left(a;b\right)$ thì hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\left(a;b\right)$

Cho hai mặt phẳng cắt nhau $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right).M$ là một điểm nằm ngoài hai mặt phẳng trên. Qua M dựng được bao nhiêu mặt phẳng đồng thời vuông góc với $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$?

Một cái nắp của bình chứa rượu gồm một phần dạng hình trụ, phần còn lại có dạng nón (như hình vẽ). Phần hình nón có bán kính đáy là r, chiều cao là h, đường sinh bằng 1,25m. Phần hình trụ có bán kính bằng bán kính đáy của hình nón, chiều cao bằng $\frac{h}{3}$. Kết quả $r+h$ xấp xỉ bằng bao nhiêu cen-ti-mét để diện tích toàn phần cái nắp là lớn nhất.

Giá trị của số thực m sao cho $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(2x^2-1\right)\left(mx+3\right)}{x^3+4x+7}=6$ là

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_3\left(2x-1\right)>4$ là:

Một hình trụ có bán kính đáy r = a, chiều cao $h=a\sqrt{3}.$ Tính diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình trụ.

Một bạn học sinh cắt lấy tờ giấy hình tròn (có bán kính R) rồi cắt một phần giấy có dạng hình quạt. Sau đó bạn ấy lấy phần giấy đó làm thành cái nón chú hề (như hình vẽ). Gọi x là chiều dài dây cung tròn của phần giấy được xếp thành nón chú hề, còn h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của của cái nón. Nếu $x=k.R$ thì giá trị k xấp xỉ bằng bao nhiêu để thể tích của hình nón là lớn nhất.