Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $\mathrm{A}\left(1;2;3\right),\mathrm{B}\left(3;-2;1\right)$ và mặt phẳng $\left(\mathrm{P}\right):\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}-3=0$. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A và B lên mặt phẳng (P). Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (AD’B’) bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $\mathrm{AD}=\mathrm{a},\mathrm{AB}=2\mathrm{a}$, cạnh bên $\mathrm{SA}=\mathrm{a}\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm AB. Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.AMD.

Một hộp đựng 10 viên bi có kích thước khác nhau, trong đó có 7 viên bi màu đỏ và 3 viên bi màu xanh. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất để 2 viên bi được chọn có đúng một viên bi màu xanh bằng

Có 8 cái bút khác nhau và 7 quyển vở khác nhau được gói trong 15 hộp. Một học sinh được chọn bất kì hai hộp. Xác suất để học sinh đó chọn được một cặp bút và vở là

Số cách chia 10 phần quà giống nhau cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất 2 phần quà là

Nếu số phức $\mathrm{z}\ne 1$ thỏa mãn $\left|\mathrm{z}\right|=1$ thì phần thực của số phức $\frac{1}{1-\mathrm{z}}$ bằng

Giá trị cực đại của hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{2}\mathrm{x}+\cos 2\mathrm{x}$ trên $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right]$ là

Trong không gian cho 2n điểm phân biệt $\mathrm{n}\ge 4,\in \mathrm{N}$, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng. Tìm tất cả các giá trị của n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt?

Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = xln⁡x là

Số điểm có tọa độ nguyên nằm trên đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{3\mathrm{x}+5}{\mathrm{x}+1}$ là

Giá trị lớn nhất của hàm số $\mathrm{y}=2{\cos }^2\mathrm{x}-\sin 2\mathrm{x}+5$ là

Tập hợp các điểm có tọa độ $\left(\mathrm{x};\mathrm{y};\mathrm{z}\right)$ sao cho $0\le \mathrm{x}\le 3,-1\le \mathrm{y}\le 5,-2\le \mathrm{z}\le 2$ là tập hợp của một khối đa diện (lồi) có một tâm đối xứng. Tìm tọa độ tâm đối xứng đó.

Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Cho cấp số cộng $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ có ${\mathrm{u}}_1=-2$ và công sai $\mathrm{d}=3$. Số hạng ${\mathrm{u}}_{10}$ là

$\lim \frac{{\mathrm{n}}^2-3{\mathrm{n}}^3+1}{2{\mathrm{n}}^3+5\mathrm{n}-2}$ bằng