Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng $30°$. 

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+\left(m+1\right)x^2+4x+7$  nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng $2\sqrt{5}$. Tính tổng tất cả phần tử của S?

Một khối trụ có thể tích bằng $25\mathrm{\pi }$. Nếu chiều cao khối trụ tăng lên năm lần và giữ nguyên bán kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng $25\mathrm{\pi }$. Bán kính đáy của khối trụ ban đầu là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2-2;) và B(2;2;-4). Giả sử I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính $T=a^2+b^2+c^2$

Có 11 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 11, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B¢ và vuông góc AC¢ chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là $V_1,V_2$ với $V_1<V_2$. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f '(x) = x + sinx và f(0) = 1. Tìm f(x)

Cho các số tự nhiên m n, thỏa mãn đồng thời các điều kiện $C_m^2=153$ và $C_m^n=C_m^{n+2}$. Khi đó m + 2 bằng

Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = $\mathrm{\pi }$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x\left(0\le x\le \mathrm{\pi }\right)$ là một tam giác đều cạnh là $2\sqrt{\sin x}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = $a\sqrt{2}$. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SD (tham khảo hình vẽ). Góc giữa mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SB bằng

Cho hàm số $y=x^3+3m{x}^2+\left(m+1\right)x+1$ có đồ thị (C). Biết rằng khi $m=m_0$ thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng $x_0=-1$ đi qua điểm A(1;3). Khẳng định nào sau đây đúng?

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = sinx + cos2x trên $\left[0;\mathrm{\pi }\right]$ là

Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là $S_n=3n^2+4n,n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$. Giá trị của số hạng thứ 10 của cấp số cộng là

Cho hình chóp S.ABC có $\widehat{BSC}=12°,\widehat{CSA}=60°,\widehat{ASB}=90°$ và SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho ba số x;5;2y lập thành cấp số cộng và ba số x;4;2y lập thành cấp số nhân thì $\left|x-2y\right|$ bằng