Cho hàm số f(x) liên tục trên [1;4] và thỏa mãn điều kiện $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=1$, $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f}\left(2\mathrm{x}-1\right)\mathrm{dx}=2$. Tính giá trị của biểu thức $\text{I=}\underset{2}{\overset{3}{}}f\left(x\right)dx$.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của DD’ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng B’C và C’M.

Tìm số nghiệm của phương trình $\sin \left(\mathrm{cosx}\right)=0$ trên đoạn x∈[0;2π].

Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình $\cos 4\mathrm{x}+\frac{1}{2}=0$ là

Một người thợ thiết kế một bể các hình hộp chữ nhật có đáy nhưng không có nắp đậy, có chiều cao là 75cm, thể tích bể là $600000{\mathrm{cm}}^3$. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 700000 đồng/${\mathrm{m}}^2$ và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 1000000 đồng/${\mathrm{m}}^2$. Giả sử phần tiếp xúc giữa các mặt bên là không đáng kể. Số tiền mua kính ít nhất để hoàn thành bể cá là

Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B, $\mathrm{AB}=\mathrm{a},\mathrm{BC}=\mathrm{a}\sqrt{3}$và $\mathrm{SA}=\mathrm{a}\sqrt{2}$, $\mathrm{SB}=\mathrm{a}\sqrt{2},\mathrm{SC}=\mathrm{a}\sqrt{5}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.

Cho hình chữ nhật ABCD có $\mathrm{AB}=2,\mathrm{AD}=4$. Tính thể tích V của khối trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục CD

Cho đa giác đều 2n đỉnh $\left(\mathrm{n}\ge 2\right).$ Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác.

Cho đa giác đều ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2...{\mathrm{A}}_{2\mathrm{n}}$$\left(\mathrm{n}\ge 2,\mathrm{n}\in \mathrm{Z}\right)$ nội tiếp đường tròn O. Biết rằng số tam giác trong 2n điểm ${\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_2,...,{\mathrm{A}}_{2\mathrm{n}}$ gấp 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n điểm đó. Tìm n.

Một người gửi tiết kiệm 300 triệu đồng loại kì hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 10%/năm thì sau 9 năm 9 tháng người đó nhận đc bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi, biết người đó không rút lãi ở các định kì trước. Nếu có rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất loại không kì hạn là 0.015%/ ngày 1tháng = 30ngày.

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $\mathrm{y}={10}^{\frac{1}{1-\mathrm{logx}}}$, $\mathrm{z}={10}^{\frac{1}{1-\mathrm{logy}}}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử với $1\le \mathrm{k}\le \mathrm{n}$ là

Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ được xác định như sau:

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_1>0\\ {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}+1}=\frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}^2+3\right)}{3{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}^2+1}\end{array}\right.$

Tùy thuộc vào giá trị của ${\mathrm{u}}_1$, tìm khẳng định ĐÚNG khi nói về tính tăng, giảm và bị chặn của dãy $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$?

Tìm các giá trị thực của m để phương trình $\mathrm{lnx}+\ln \left(1-\mathrm{x}\right)=\mathrm{m}$ có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0;1).

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}$, $\left(\mathrm{a}\ne 0\right)$ có đồ thị như hình vẽ sau. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 1. Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox. Khẳng định nào sau đây là đúng về thể tích V?