Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(SCD\right)$ bằng $\phi ,$ với $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{3}}.$ Thể tích khối chóp đã cho bằng 

Đặt $AD=x$ với $x>0.$

Trong mặt phẳng $\left(SAC\right):$ kẻ $AH\perp SB$ tại $H;$ trong mặt phẳng $\left(SAD\right)$, kẻ $AK\perp SD$ tại $K.$

Dễ dàng chứng minh được $AH\perp \left(SBC\right)$, $AK\perp \left(SCD\right)$ và $H$ là trung điểm của $SB.$

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ

Ta có: $A\left(0;0;0\right),B\left(a;0;0\right),S\left(0;0;a\right),D\left(0;x;0\right),H\left(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}\right)$

Suy ra: $\overrightarrow{SD}=\left(0;x;-a\right),\overrightarrow{AS}=\left(0;0;a\right),\overrightarrow{AH}=\left(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}\right).$

Trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có

                                        $S{A}^2=SK.SD\iff \frac{SK}{SD}=\frac{S{A}^2}{S{D}^2}=\frac{S{A}^2}{S{A}^2+A{D}^2}=\frac{a^2}{a^2+x^2}$

                                   $\Rightarrow \overrightarrow{SK}=\frac{a^2}{a^2+x^2}\overrightarrow{SD}\iff \overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AS}=\frac{a^2}{a^2+x^2}\overrightarrow{SD}$

                                   $\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{a^2}{a^2+x^2}\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{AS}\iff \overrightarrow{AK}=\left(0;\frac{a^{2}x}{a^2+x^2};\frac{a{x}^2}{a^2+x^2}\right)$.

Do $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AK}$ lần lượt là hai véc-tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(SCD\right)$ nên

                                                   $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{3}}\iff \frac{\left|\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AK}\right|}{\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{AK}\right|}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

                                                   $\iff \sqrt{3}\left|\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AK}\right|=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{AK}\right|$

                                                   $\iff \sqrt{3}.\left|\frac{a}{2}.\frac{a{x}^2}{a^2+x^2}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{\frac{a^4{x}^2}{{\left(a^2+x^2\right)}^2}+\frac{a^2{x}^4}{{\left(a^2+x^2\right)}^2}}$

            $\iff \frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2.x^2}{a^2+x^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{a^{2}x}{a^2+x^2}.\sqrt{a^2+x^2}\iff \sqrt{3}x=\sqrt{2}.\sqrt{a^2+x^2}$

                                                   $\iff 3x^2=2a^2+2x^2\iff x^2=2a^2\iff x=a\sqrt{2}=AD.$

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}SA.AB.AD=\frac{1}{3}.a.a.a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}.$

Chọn đáp án B.