Cho biểu thức \(H = \frac{{2{x^2} + 2x}}{{{x^2} - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)
a) Rút gọn biểu thức H.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để \(\sqrt x - H < 0\).
Giải bởi Vietjack
a) \(H = \frac{{2{x^2} + 2x}}{{{x^2} - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)
\( = \frac{{2x}}{{x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)
b) Theo đề bài ta có \(\sqrt x - H < 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 2 < \Leftrightarrow \sqrt x < 2 \Leftrightarrow x < 4\)
Kết hợp điều kiện \(x \ge 0;x \ne 1\) ta có \(0 \le x < 4;x \ne 1\)
Vậy với \(0 \le x < 4;x \ne 1\) thì \(\sqrt x - H < 0\)
Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài đường tròn (O). kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B và C là các tiếp điểm) với đường tròn. Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho AB < AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại D và E (MD < ME),cắt BC tại F, cắt AC tại I.
a) Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp.
b) Chứng minh \(FD.FE = FB.FC;FI > FE = FD.FE\)
c) Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt đường tròn (O) tại K (K khác Q). Chứng minh 3 điểm P, K, M thẳng hàng.
a) Giải phương trình: \({x^2} - 3x + 2 = 0\).
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 6m = {x_1} - 2{x_2}\).
1) Cho đường thẳng (d): \(y = x - 1\) và parabol (P): \(y = 3{x^2}\).
a) Tìm tọa độ A thuộc parabol (P) biết điểm A có hoành độ \(x = - 1\).
b) Tìm b để đường thẳng (d) và đường thẳng (d’): \(y = \frac{1}{2}x + b\) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.
2) a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\2x - y = 1\end{array} \right.\).
b) Tìm tham số a để hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = a}\\{7x - 2y = 5a - 1}\end{array}} \right.\). Có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(y = 2x\).
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sqrt 4 + 3\).
b) \(\sqrt 5 + \sqrt {{{\left( {6 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \).
