Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1; 4; 2), bán kính bằng 2. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox, Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng . Gọi A là tiếp điểm của MN và (S), giá trị AM.AN bằng
A. .
B. 14.
C. .
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Gọi M(a; 0; 0) Î Ox, N(0, b, 0) Î Oy.
Ta có d(I; (Oxy)) = 2 = R nên (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(1; 4; 0) và MN cũng đi qua A.
Lại có = (a – 1; −4; 0), = (−1; b – 4; 0) và 3 điểm A, M, N thẳng hàng nên ta được:
Û (a – 1)(b – 4) = 4 (1).
Tứ diện OIMN có IA ^ (OMN) và ∆OMN vuông tại O
Gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN thì J Î (IMN).
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IMN.
Ta có S∆IMN = (với r = bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IMN).
Û =
Û IM.IN = 7IA
Û IM.IN = 14
Û [(a – 1)2 + 20].[(b – 4)2 + 5] = 196 (2).
Đặt .
Từ (1) và (2) ta có hệ
Û
Từ (4) ta được: (m2 + 20)(16 + 5m2) = 196m2
Û 5m4 – 80m2 + 320 = 0 Û m2 = 8
Û Þ .
Suy ra .
Vậy AM.AN = .
Cho hàm số f(x) = (a + 3)x4 – 2ax2 + 1 với a là tham số thực. Nếu = f(2) thì bằng
Hàm số F(x) = cot x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng ?
Số phức nào dưới đây có phần ảo bằng phần ảo của số phức w = 1 – 4i?
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 120° và chiều cao bằng 2. Gọi (S) là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của (S) bằng
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên AA’ = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60°. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3 và công bội q = 2. Số hạng tổng quát un (n ≥ 2) bằng
Cho hàm số f(x) = ax4 + bx2 + c có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [−2; 5] của tham số m để phương trình f(x) = m có đúng 2 nghiệm thực phân biệt?
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Giá trị sin của góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABCD) bằng
Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 5, đáy ABC có diện tích bằng 6. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
Cho khối nón có diện tích đáy 3a2 và chiều cao 2a. Thể tích của khối nón đã cho là
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3). Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng x – 2y + 2z + 3 = 0 là
Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Biết rằng hàm số g(x) = ln f(x) có bảng biến thiên như sau
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f'(x) và y = g'(x) thuộc khoảng nào dưới đây?
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau?
Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho mỗi a có đúng hai số nguyên b thoả mãn (3b – 3)(a.2b – 16) < 0
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có toạ độ là
