Cho các phát biểu sau:

1. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x_0$  khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua.

2. Hàm số $y=f\left(x\right)$  đạt cực trị tại $x_0$ khi và chỉ khi $x_0$ là nghiệm của đạo hàm.

3. Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$  và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0$ thì $x_0$ không phải là cực trị của hàm số   đã cho.

4. Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$  và $f\text{'}\text{'}\left(x_o\right)>0$  thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$ .

Các phát biểu đúng là:

+) Ta có định lí: Nếu $f\text{'}\left(x\right)$  đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm $x_o$  (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm   ⇒ 1 đúng.

+) Điều kiện cần để $x_o$  là điểm cực trị của hàm số là: $x_o$  là nghiệm của phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow$  2 sai.

+) Nếu $f\text{'}\left(x_o\right)=0$  và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm $x_o$ thì:

-) Nếu $f^{\text{'}\text{'}}\left(x_o\right)<0$  thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm $x_o$ .

-) Nếu $f^{\text{'}\text{'}}\left(x_o\right)>0$  thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm $x_o$ .

+) Nếu $f^{\text{'}}\left(x_o\right)=0$  và $f^{\text{'}\text{'}}\left(x_o\right)=0$  thì ta không kết luận gì chứ không phải hàm số không đạt cực trị tại $x_o$ .

Khi $\left\{\begin{array}{c}f\text{'}\left(x_0\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0\end{array}\right.$ thì ta không kết luận gì vì có thể xảy ra cả hai trường hợp là hàm số đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại $x_o$ .

 Ví dụ:

 +) TH1: Xét hàm $f\left(x\right)=x^4$  có $f^{\text{'}}\left(x\right)=4x^3=0\iff x=0$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=12x^2$ và $f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=0$

Trong TH này hàm số có $f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=0$ nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x = 0 vì đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)$  đổi dấu từ âm sang dương qua x=0.

+) TH2: Xét hàm $g\left(x\right)=x^3$ có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2=0\iff x=0$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=6x\Rightarrow f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=0$

Trong TH này hàm số có $f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=0$  nhưng không đạt cực trị tại x = 0 vì đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2$ không đổi dấu của x = 0.

⇒ 3 và 4 sai.

Đáp án cần chọn là: B