Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC = 2a. A là điểm trên nửa đường tròn, $\angle ACB=\alpha \left(0^0<\alpha <{90}^0\right).$ Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D (D khác B), tiếp tuyến của (O) tại D cắt AC tại I. Vẽ $DE\perp AB,DF\perp AC$$\left(E\in AB,F\in AC\right)$

a) Tính $\angle AOB$ theo $\alpha$

b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp

c) Tính $S_{AOB}$

d) Chứng minh rằng : DI là đường trung bình $\Delta ADC$. Tính $\alpha$ khi DI // EF

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung CA bằng cung CB, D là điểm tùy ý trên cung $CB\left(D\ne C,D\ne B\right)$, các tia AC, AD cắt tia Bx theo thứ tự ở E và F

a) Tính số đo $\angle AEB$

b) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp

c) Chứng minh $B{E}^2=AD.\text{}AF$

Cho parabol $\left(P\right):y=2x^2$ và $d:y=\frac{3}{2}x$

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) và AB = BD  tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng BC tại Q. Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng AB, DC

a) Chứng minh tứ giác AQRC nội tiếp

b) Chứng minh AD // QK

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) đường kính AB cắt BC tại M.

a) Chứng minh $AM\perp BC$ và $AM.BC=AB.AC$

b) Gọi I là trung điểm của AC. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh MNCI là tứ giác nội tiếp

Chứng minh $I{C}^2=IN.IB$

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp (O). Vẽ Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O). Đường thẳng song song với Ax cắt cạnh AB, AC lần lượt ở D, E. Chứng minh tứ giác BCED nội tiếp.

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ $CK\perp AE$ tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:

a) AHCK là tứ giác nội tiếp      $b)AH.AB=A{D}^2 c)\Delta ACF$cân

Cho hàm số $y=a{x}^2$ có đồ thị là parabol (P)

a) Tìm hệ số a biết rằng (P) đi qua điểm M(-2; 4)

b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và điểm N(2; 4)

c) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)

Cho hàm số $y=\left(3m+1\right)x^2$ với $m\ne -\frac{1}{3}$

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đi qua điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ với $\left(x_0;y_0\right)$là nghiệm của hệ phương trình : $\left\{\begin{array}{l}3x-4y=2\\ -4x+3y=-5\end{array}\right.$

Cho hình vuông $ABCD,\angle xAy={45}^0,Ax$ cắt BC và BD lần lượt tại E và F. Ay cắt CD, BD tại G, H. Chứng minh tứ giác EFGH nội tiếp.