Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{400}}<38$.

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=3xyz$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}$

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: $a+b+3ab=1$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{6ab}{a+b}-a^2-b^2$.

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\ge \frac{1}{2}$

Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

$a+2b+c\ge 4(1-a)(1-b)(1-c)$

Cho biểu thức $P=a^4+b^4-ab$ với a, b là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+ab=3$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Cho x, y là hai số thực thỏa $\left\{\begin{array}{l}x>y\\ xy=1\end{array}\right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^2+y^2}{x-y}.$

Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1

Chứng minh $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\le 1$.

Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh $\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 9\cdot$

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $x+y\le 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{1}{5xy}+\frac{5}{x+2y+5}$

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\le \frac{1}{4}(a+b+c)$

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 2019.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}$.