Cho đường tròn $(O; R)$ đường kính $A B$ . Qua $A$ và $B$ vẽ lần lượt hai tiếp tuyến $(d)$ và $(d^{'})$ . Một đường thẳng qua $O$ cắt đường thẳng $(d)$ ở $M$ và $(d^{'})$ ở $P$ . Từ $O$ kẻ $O x$ vuông góc với $M P$ và cắt $(d^{'})$ ở $N$ .

a) Chứng minh $O M = O P$ và $Δ N M P$ cân.

b) Chứng minh $M N$ là tiếp tuyến của $(O)$ .

c) Chứng minh $A M . B N = R^{2}$ .

d) Tìm vị trí của $M$ để diện tích tứ giác $A M N B$ là nhỏ nhất.

Giải bởi Vietjack

Phân tích đề bài

a) Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, thông thường chúng ta chứng minh qua hai tam giác bằng nhau. Khi đó $Δ N M P$ cân vì có $O M = O P$ và $O N ⊥ M P$ .

b) $M N$ là tiếp xúc với $(O)$ tại $I \Leftrightarrow \{\begin{cases} M N ⊥ O I \\ O I = R \end{cases}$ .

c) $A M . B N = R^{2} \Leftrightarrow$ $\overset{Δ A O M}{\overset{⏞}{A M . \underset{Δ B O N}{\underset{⏟}{B N = O A}}}} . \underset{Δ B O N}{\underset{⏟}{O B}}$ $\Leftrightarrow Δ A M O ~ Δ B O N$

d) Nhận thấy $A B N M$ là hình thang vuông, nên

$S_{A M N B} = \frac{(N B + M A) . A B}{2} = \frac{(M I + N I) . A B}{2} = \frac{M N . A B}{2}$ .

Do vậy $S_{A M N B}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M N$ nhỏ nhất hay $A B N M$ là hình chữ nhật.

Giải chi tiết

a) Xét $Δ A O M$ và $Δ B O P$ có: $\hat{M A O} = \hat{P B O} = 90 °$ (tính chất tiếp tuyến);

                                                $O A = O B$ (bán kính đường tròn $(O)$ );

                                                $\hat{A O M} = \hat{B O P}$ (đối đỉnh).

$\Rightarrow Δ A O M = Δ B O P (g . c . g) \Rightarrow O M = O P$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $Δ M N P$ có $O M = O P$ (theo chứng minh trên) và $O N ⊥ M P$ . Suy ra $O N$ là đường trung tuyến, đồng thời là đường cao của $Δ M N P$ nên $Δ M N P$ cân tại $N$ .

b) Kẻ $O I ⊥ M N$ tại $I$ . Vì $Δ M N P$ cân tại $N$ nên $\hat{O M I} = \hat{O P B}$ (hai góc ở đáy).

Xét $Δ O M I$ và $Δ O P B$ có: $\hat{O I M} = \hat{O B P} = 90 °$ ;

                                            $O M = O P$ (chứng minh trên);

                                            $\hat{O M I} = \hat{O P B}$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow Δ O M I = Δ O P B$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow O I = O B = R$ (hai cạnh tương ứng).

Vì $O I ⊥ M N$ tại $I$ và $O I = R$ nên $M N$ là tiếp tuyến của $(O; R)$ tại I.

c) Xét $Δ A M O$ và $Δ B O N$ có: $\hat{M A O} = \hat{N B O} = 90 °$ (tính chất tiếp tuyến);

                                                $\hat{A M O} = \hat{B O N}$ (cùng phụ với hai góc $\hat{A O M}, \hat{B O P}$ bằng nhau).

$\Rightarrow Δ A M O ~ Δ B O N (g.g) \Rightarrow \frac{A M}{B O} = \frac{A O}{B N} \Rightarrow A M . B N = A O . B O = R^{2}$ (vì $O A = O B = R$ ).

Vậy $A M . B N = R^{2}$ .

d) Ta có: $M A ⊥ A B$ và $N B ⊥ A B$ (tính chất tiếp tuyến). Do đó $M A // N B$ hay $A M N B$ là hình thang vuông $\Rightarrow S_{A M N B} = \frac{(N B + M A) . A B}{2}$ .

Mặt khác: $A M = M I$ và $B N = N I$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

                  $\Rightarrow S_{A M N B} = \frac{(M I + N I) . A B}{2} = \frac{M N . A B}{2}$ .

Mà $A B = 2 R$ cố định nên $S_{A M N B}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M N$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M N // A B$ hay $A M N B$ là hình chữ nhật $\Leftrightarrow M N = 2 R$ . Khi đó $S_{A M N B} = 2 R^{2}$ .

Vậy để diện tích tứ giác $A M N B$ nhỏ nhất thì $M N // A B$ và $A M = R$ .

Xem đáp án » 15/10/2022 139

Xem đáp án » 15/10/2022 118

Xem đáp án » 15/10/2022 94

Xem thêm »

Xem thêm »

Xem thêm »