Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA....

Question

Cho △ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. Chứng minh OAH^=ACB^-ABC^

VietJack · Accepted Answer

Cách giải 1: (Hình 1) Kẻ OI ⊥ AC cắt AH ở MTa có: OMH^=ACB^ (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)AOM^=ABC^ (cùng bằng 12 sđ AC^)Trong △OAM thì: OMH^=AOM^+OAH^ (Góc ngoài tam giác)Hay ACB^=ABC^+OAH^Vậy: OAH^=ACB^-ABC^ (Đpcm) Cách giải 2: (Hình 2) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại A cắt BC ở D .Ta có: ABC^=CAD^ (1) (Cùng chắn )OAH^=ADC^ (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: ABC^+OAH^=CAD^+ADC^Mà CAD^+ADC^=ACB^ (góc ngoài tam giác) ⇒ABC^+OAH^=ACB^ Vậy: OAH^=ACB^-ABC^ (Đpcm) Cách giải 3: (Hình 3) Kẻ đường kính AOD Kẻ DK ⊥ BCTa có DK // AH ⇒OAH^=ODK^ (1) (so le trong)ABC^=ADC^ (2) (góc nội tiếp cùng chắn AC^)Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được OAH^+ABC^=ODK^+ADC^=KDC^Mà: KDC^=ACB^(góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)⇒OAH^+ABC^=ACB^. Vậy OAH^=ACB^-ABC^ (Đpcm) Cách giải 4: (Hình 4) Kẻ đường kính AODKẻ CK ⊥ ADTa có: OAH^=KCB^ (1) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc) ABC^=ADC^ (2) (góc nội tiếp cùng chắn AC^)Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: OAH^+ABC^=KCB^+ADC^Mà: ADC^=KCA^ (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc) ⇒OAH^+ABC^=KCB^+KCA^=ACB^Vậy: OAH^=ACB^-ABC^ (Đpcm) Cách giải 5: (Hình 5) Kẻ đường kính AODGọi M là giao điểm của AH và DC Ta có: AMC^=ACB^ (1) (góc có cạnh các cặp cạnh tương ứng vuông góc)ADM^=ABC^ (2) (góc nội tiếp cùng chắn AC^)Trừ từng vế của (1) và (2) Ta được: AMC^-ADM^=ACB^-ABC^Mà: OAH^=ACB^-ABC^ (góc ngoài tam giác)Vậy OAH^=ACB^-ABC^ (Đpcm) Cách giải 6: (Hình 6) Kẻ OI ⊥ BC và OK ⊥ ABTa có: OAH^=O2^ (1) (so le trong) ABC^=O1^ (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được OAH^+ABC^=O1^+O2^Mà O1^+O2^=ACB^ (Cùng bằng 12 sđ AB^) ⇒OAH^+ABC^=ACB^ Vậy OAH^=ACB^-ABC^ (Đpcm) Cách giải 7: (Hình 7) Tại A kẻ tiếp tuyến Ax và đường thẳng Ay // BCTa có: OAH^=xAy^(1) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)ABC^=BAy^ (2) (so le trong)Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: OAH^+ABC^=xAy^+BAy^=xAB^Mà: xAB^=ACB^ (góc nội tiếp cùng chắn AB^) ⇒OAH^+ABC^=ACB^Vậy OAH^=ACB^-ABC^ (Đpcm)