a, Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình $y=-x+\frac{\sqrt{2}}{2}.$Gọi A,B lần lượt là giao điểm của d với trục hoành và trục tung; H là trung điểm của đoạn thẳng AB Tính độ dài đoạn thẳng OH (đơn vi trên các trục tọa độ là xentimet).

b, Một cốc nước dạng hình trụ có chiều cao là 12cm bán kính đáy là 2cm lượng nước trong cốc cao 8cm Người ta thả vào cốc nước 6 viên bi hình cầu có cùng bán kính 1cm và ngập hoàn toàn trong nước làm nước trong cốc dâng lên.Hỏi sau khi thả viên bi vào thì mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu xentimet? (Giả sử độ dài của cốc là không đáng kể)

Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Điểm M thuộc cung nhỏ BD sao cho $\widehat{BOM}={30}^0.$Gọi N là giao điểm của CM và OB. Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt OB, OD kéo dài lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua N và vuông góc với AB cắt EF tại P

a, Chứng minh tứ giác ONMP là tứ giác nội tiếp

1)    Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{32}-\sqrt{6}.\sqrt{3}+\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{11}}$

Cho ba số thực dương $x,y,z$thỏa mãn: $x+2y+3z=2.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S=\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\frac{3xz}{3xz+4y}}$

Xác định hệ số a của hàm số $y=a{x}^2,$ biết đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left(-3;1\right)$

Cho phương trình: $x^2-\left(2m-n\right)x+\left(2m+3n-1\right)=0\left(1\right)$ (m,n là tham số)

1)    Với n= 0 chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Giải phương trình: $x^2-2x=0$

     c, Chứng minh CN = OP