Cho phương trình $(m^{2} + m + 1) x^{2} - (m^{2} + 2 m + 2) x - 1 = 0$ (m là tham số)

Giả sử $x_{1}; x_{2}$ là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$

Giải bởi Vietjack

Phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ khi và chỉ khi

$Δ \geq 0 \Rightarrow {(m^{2} + 2 m + 2)}^{2} + 4 (m^{2} + m + 1) \geq 0$ (luôn đúng với mọi m)

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$

Khi đó, áp dụng định lý Vi-et ta có :

$S = x_{1} + x_{2} = \frac{m^{2} + 2 m + 2}{m^{2} + m + 1}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow m^{2} S + m S + S = m^{2} + 2 m + 2 \\ \Leftrightarrow (S - 1) m^{2} + (S - 2) m + S - 2 = 0 () \end{array}$

Th1: $S = 1 \Rightarrow - m + 1 - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$

Th2: $S \neq 1$ . Khi đó phương trình () có :

$\begin{array}{l} Δ_{m} = {(S - 2)}^{2} - 4 (S - 1) (S - 2) \\ = S^{2} - 4 S + 4 - 4 (S^{2} - 3 S + 2) = - 3 S^{2} + 8 S - 4 \end{array}$

Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ thì phương trình (*) phải có nghiệm

Khi đó ta có : $Δ_{m} \geq 0 \Leftrightarrow - 3 S^{2} + 8 S - 4 \geq 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3 S^{2} + 6 S + 2 S - 4 \geq 0 \Leftrightarrow - 3 S (S - 2) + 2 (S - 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow (S - 2) (- 3 S + 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} S - 2 \geq 0 \\ - 3 S + 2 \geq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} S - 2 \leq 0 \\ - 3 S + 2 \leq 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} S \geq 2 \\ S \leq \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow S \in \emptyset \\ \{\begin{cases} S \leq 2 \\ S \geq \frac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{2}{3} \leq S \leq 2 \end{array} \end{array}$

Do đó GTNN của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ bằng $\frac{2}{3}$ và GTLN của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ bằng 2.

Với $S = \frac{2}{3}$ ta có :

$\begin{array}{l} \frac{m^{2} + 2 m + 2}{m^{2} + m + 1} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3 (m^{2} + 2 m + 2) = 2 (m^{2} + m + 1) \\ \Leftrightarrow m^{2} + 4 m + 4 = 0 \Leftrightarrow {(m + 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow m = - 2 (t m) \end{array}$

Với S = 2 ta có :

$\begin{array}{l} \frac{m^{2} + 2 m + 2}{m^{2} + m + 1} = 2 \Rightarrow m^{2} + 2 m + 2 = 2 m^{2} + 2 m + 2 \\ \Leftrightarrow m^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 0 (t m) \end{array}$

Vậy GTNN của $S = x_{1} + x_{2}$ bằng $\frac{2}{3}$ đạt được khi m = -2

Và GTLN của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ bằng 2 đạt được khi m = 0

Xem đáp án » 15/10/2022 79

Xem đáp án » 15/10/2022 73

Xem đáp án » 15/10/2022 61

Xem đáp án » 15/10/2022 57

Xem đáp án » 15/10/2022 52

Xem đáp án » 15/10/2022 51

Xem đáp án » 15/10/2022 47

Xem đáp án » 15/10/2022 42

Xem đáp án » 15/10/2022 40

Xem thêm »

Xem thêm »

Xem thêm »