Cho phương trình $\left(m^2+m+1\right)x^2-\left(m^2+2m+2\right)x-1=0$ (m là tham số)

Giả sử $x_1;x_2$là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=x_1+x_2$

Phương trình (1) có hai nghiệm  $x_1;x_2$ khi và chỉ khi

$\Delta \ge 0\Rightarrow {\left(m^2+2m+2\right)}^2+4\left(m^2+m+1\right)\ge 0$ (luôn đúng với mọi m)

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$

Khi đó, áp dụng định lý Vi-et ta có :

$S=x_1+x_2=\frac{m^2+2m+2}{m^2+m+1}$

$\begin{array}{l}\iff m^{2}S+mS+S=m^2+2m+2\\ \iff \left(S-1\right)m^2+\left(S-2\right)m+S-2=0\left(*\right)\end{array}$

Th1: $S=1\Rightarrow -m+1-2=0\iff m=-1$

Th2: $S\ne 1$. Khi đó phương trình (*) có :

$\begin{array}{l}{\Delta }_m={\left(S-2\right)}^2-4\left(S-1\right)\left(S-2\right)\\ =S^2-4S+4-4\left(S^2-3S+2\right)=-3S^2+8S-4\end{array}$

Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=x_1+x_2$ thì phương trình (*) phải có nghiệm

Khi đó ta có : ${\Delta }_m\ge 0\iff -3S^2+8S-4\ge 0$

$\begin{array}{l}\iff -3S^2+6S+2S-4\ge 0\iff -3S\left(S-2\right)+2\left(S-2\right)\ge 0\\ \iff \left(S-2\right)\left(-3S+2\right)\ge 0\\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}S-2\ge 0\\ -3S+2\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}S-2\le 0\\ -3S+2\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}S\ge 2\\ S\le \frac{2}{3}\end{array}\right.\Rightarrow S\in \varnothing \\ \left\{\begin{array}{l}S\le 2\\ S\ge \frac{2}{3}\end{array}\right.\iff \frac{2}{3}\le S\le 2\end{array}\right.\end{array}$

Do đó GTNN của biểu thức $S=x_1+x_2$ bằng $\frac{2}{3}$ và GTLN của biểu thức $S=x_1+x_2$ bằng 2.

Với $S =\frac{2}{3}$ ta có :

$\begin{array}{l}\frac{m^2+2m+2}{m^2+m+1}=\frac{2}{3}\iff 3\left(m^2+2m+2\right)=2\left(m^2+m+1\right)\\ \iff m^2+4m+4=0\iff {\left(m+2\right)}^2=0\iff m=-2\left(tm\right)\end{array}$

Với S = 2 ta có :

$\begin{array}{l}\frac{m^2+2m+2}{m^2+m+1}=2\Rightarrow m^2+2m+2=2m^2+2m+2\\ \iff m^2=0\iff m=0\left(tm\right)\end{array}$

Vậy GTNN của $S=x_1+x_2$ bằng $\frac{2}{3}$ đạt được khi m = -2    

Và GTLN của biểu thức $S=x_1+x_2$bằng  2 đạt được khi m = 0