1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, điểm C nằm giữa hai điểm O và A, đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn tâm O tại I. Gọi K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn tâm O tại điểm M, tia BM cắt tia CI tại điểm D. Gọi N là giao điểm của AD và nửa đường tròn tâm O.

a) Chứng minh rằng: Tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng: CA.CB = CK.CD.

c) Chứng minh rằng: MA là phân giác  $\widehat{CMN}$.

d) Khi K di chuyển trên đoạn thẳng CI. Chứng minh rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD có tâm nằm trên một đường thẳng cố định.

2. Tính diện tích xung quanh của một hình nón, biết đường kính đáy là 40cm và độ dài đường sinh là 30cm (lấy p ≈ 3,14).

1.

a) Ta có  $\widehat{AMB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O).

Suy ra $\widehat{AMD}$= 90° (kề bù với $\widehat{AMB}$)

Có DC ^ AB Þ  $\widehat{ACD}=\widehat{KCB}=90°$

Xét tứ giác ACMD có: $\widehat{ACD}=\widehat{AMD}$= 90° (chứng minh trên).

Suy ra C, M cùng thuộc đường tròn đường kính AD (quỹ tích cung chứa góc)

Do đó tứ giác ACMB nội tiếp đường tròn đường kính AD.

b) Ta có tứ giác ACMB nội tiếp đường tròn đường kính AD

Suy ra  $\widehat{CAM}=\widehat{CDM}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CM) hay  $\widehat{CAK}=\widehat{CDB}$

Xét ∆ACK và ∆DCB có:

$\left.\begin{array}{c}\widehat{ACK}=\widehat{DCB}=90°\\ \widehat{CAK}=\widehat{CDB}\left(cmt\right)\end{array}\right\}$Þ ∆ACK $\backsim$∆DCB (g.g)

Þ  $\frac{CA}{CB}=\frac{CK}{CB}$Þ CA.CB = CD.CK

c) Ta có  $\widehat{AMD}$= 90° Þ AM ^ BD mà K là giao điểm của hai đường cao DC và AM.

Suy ra K là trực tâm của ∆ABD

Do đó BK ^ AD

Ta lại có  $\widehat{ANB}$= 90° (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Þ BN ^ AD.

Þ BK ≡ BN hay N, K, B thẳng hàng.

Þ KN ^ AD

Ta có tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn

Þ  $\widehat{AMC}=\widehat{ADC}$(cùng chắn cung AC) (1)

Tứ giác KMDN có  $\widehat{KMD}+\widehat{KND}=90°+90°=180°$ (tổng hai góc đối)

Suy ra tứ giác KMDN nội tiếp đường tròn đường kính DK

Do đó  $\widehat{KMN}=\widehat{KDN}$ (cùng chắn cung KN) (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $\widehat{KMC}=\widehat{KMN}$ Þ MK là tia phân giác của  $\widehat{NMC}$.

d) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua DC Þ  $\widehat{DBC}=\widehat{DB\text{'}C}$(tính chất đối xứng)

Ta có  $\widehat{CKM}=\widehat{AKD}$ (hai góc đối đỉnh)

Ta có tứ giác BCKM nội tiếp ( $\widehat{BCK}=\widehat{BMK}=90°$)

Þ  $\widehat{DBC}+\widehat{MKC}=180°$ Þ  $\widehat{DB\text{'}A}+\widehat{DKA}=180°$

Þ Tứ giác AKDB’ nội tiếp đường tròn.

Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AKD thì O’ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDB’

Nên O’ thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng AB’.

Mà A, B, C cố định nên B’ cố định suy ra đường thẳng d cố định.

Vậy tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp ∆AKD luôn nằm trên đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB’ cố định.

2. Diện tích xung quanh của hình nón là: S_xq = prl (với r là độ dài bán kính, l là độ dài đường sinh).

Có đườg kính d = 40 cm nên bán kính r = 20 cm

Có l = 30 cm

S_xq = 3,14 . 20 . 30 = 1884 (cm²).

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là 1884 cm².