Cho ax+by+cz=0, hãy rút gọn phân thức: A=ax2+by2+cz2bc(y−z)2+ac(x−z)2+ab(x−y)2.
Giải bởi Vietjack
Áp dụng hằng đẳng thức
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx),
Ta bình phương hai vế của đẳng thức đã cho thì được:a2x2+b2y2+c2z2+2(abxy+acxz+bcyz)=0,
Suy ra:
a2x2+b2y2+c2z2=−2(abxy+acxz+bcyz). (1)
Biến đổi mẫu thức:
=bcy2−2bcyz+bcz2+acx2−2acxz+acz2+abx2−2abxy+aby2=bcy2+bcz2+acx2+acz2+abx2+aby2−2(abxy+bcyz+acxz) (2)
Thay (1) vào (2) thì mẫu thức của A bằng:(bcy2+acx2+c2z2)+(bcz2+abx2+b2y2)+(acz2+aby2+a2x2)=c(by2+ax2+cz2)+b(cz2+ax2+by2)+a(cz2+by2+ax2)=(ax2+by2+cz2)(a+b+c).
Vậy A=1a+b+c.
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x,y,z B=x+z(x−y)(y−z)+x+y(x−z)(y−z)+y+z(x−y)(x−z).
Rút gọn các biểu thức sau: B=1a2+a+1a2+3a+2+1a2+5a+6+1a2+7a+12+1a2+9a+20.
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x,y,z :A=y(x−y)(y−z)+z(y−z)(z−x)+x(z−x)(x−y);
