Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$ ;  P,Q,R lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC, CA và .

Chứng minh rằng:

a) Các điểm $M,B,P,R$ cùng thuộc một đường tròn.

Trên cạnh CD của hình vuông ABCD, lấy một điểm M, vẽ đường tròn tâm O đường kính AM. Gọi E là giao điểm của đường tròn tâm (O')   đường kính CD. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm thứ hai N. Tia DN cắt BC tại P. Chứng minh rằng:

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF tiếp xúc với đường tròn (O)

Cho (O) đường kính AB. Điểm M chuyển động trên (O), $M\ne A$ ; $M\ne B$. Kẻ MH vuông góc với AB. Vẽ đường tròn $\left(O_1\right)$  đường kính MH cắt đường thẳng MA và MB tại C và D  . Chứng minh rằng:

c) Cho AB cố định, C thay đổi sao cho $\widehat{BCA}={90}^0$ . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua hai điểm cố định và tâm đường tròn này nằm trên đường thẳng cố định

b, Chứng minh rằng: $ABCD$  nội tiếp

Cho đường tròn (O), M là điểm ở ngoài (O), hai tiếp tuyến  MAvà  MB( A, B là hai tiếp tuyến), C là một điểm trên đường tròn tâm M bán kính MA và nằm trong đường tròn (O). Các tia AC và BC cắt đường tròn (O) lần lượt tại  E và D.

Chứng minh ba điểm  D,O,E thẳng hàng.