Tìm hệ số của x5 trong khai triển (1 + x + x2 + x3)5.
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[{\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5} = {\left[ {\left( {1 + x} \right) + {x^2}\left( {1 + x} \right)} \right]^5} = {\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}\]
Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có:
\({\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{\left( {{x^2}} \right)^1} + C_5^2{.1^3}.{\left( {{x^2}} \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( {{x^2}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {{x^2}} \right)^5}\)
\({\left( {1 + x} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{x^1} + C_5^2{.1^3}.{x^2} + C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^4.1.{x^4} + C_5^5.{x^5}\)
Xét \[{\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}\] = \({\left( {1 + {x^2}} \right)^5}\).\({\left( {1 + x} \right)^5}\) để có x5 thì (x2)i.xj = x5 hay x2i + j = x5 với i; j là số tự nhiên và i; j bé hơn 5.
|
i |
j |
|
0 |
5 |
|
1 |
3 |
|
2 |
1 |
Khi đó, số hạng chứa x5 trong khai triển là:
\(C_5^0{.1^5}.C_5^5{x^5} + C_5^1{.1^4}.{x^2}.C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^2{.1^3}.{x^4}.C_5^1{.1^4}.x\) = x5 + 50x5 + 50x5 = 101x5
Vậy hệ số của x5 trong khai triển là 101.
Rút gọn biểu thức \(M = \frac{{A_n^6 + A_n^5}}{{A_n^4}}\) với n ∈ ℕ, n ≥ 6 ta thu được kết quả là:
Cho số tự nhiên n thỏa mãn \(C_n^2 + A_n^2 = 9n.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trong tủ sách có 10 cuốn tiểu thuyết; 8 cuốn truyện tranh và 6 cuốn tài liệu văn học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 cuốn sách sao cho hai cuốn sách đó khác nhau về thể loại.
Cho n > 2 là số nguyên dương thỏa mãn \(3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} - 5.\) Số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^n},x \ne 0.\)
