Câu hỏi:

24/06/2024 112

Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chọn hệ thức đúng?

A. $A B^{2} + A C^{2} + B C^{2} = 2 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}) .$

B. $A B^{2} + A C^{2} + B C^{2} = G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} .$

C. $A B^{2} + A C^{2} + B C^{2} = 4 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}) .$

D. $A B^{2} + A C^{2} + B C^{2} = 3 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}) .$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D

Cách 1

Ta có

$\begin{array}{l} {(\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C})}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + 2 \vec{G A} . \vec{G B} + 2 \vec{G A} . \vec{G C} + 2 \vec{G B} . \vec{G C} = 0 \\ \Leftrightarrow G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + (G A^{2} + G B^{2} - A B^{2}) + (G A^{2} + G C^{2} - A C^{2}) + (G B^{2} + G C^{2} - B C^{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow A B^{2} + A C^{2} + B C^{2} = 3 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}) \end{array}$

Cách 2: Ta có:

$\{\begin{cases} M A^{2} = \frac{A B^{2} + A C^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4} \\ G A = \frac{2}{3} M A \end{cases} \Rightarrow G A^{2} = \frac{4}{9} (\frac{A B^{2} + A C^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4}) .$

Tương tự ta suy ra được
$\begin{array}{l} G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = \frac{4}{9} (\frac{A B^{2} + A C^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4} + \frac{B A^{2} + B C^{2}}{2} - \frac{A C^{2}}{4} + \frac{C A^{2} + C B^{2}}{2} - \frac{A B^{2}}{4}) . \\ = \frac{1}{3} (A B^{2} + B C^{2} + C A^{2}) . \\ \Leftrightarrow 3 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}) = A B^{2} + B C^{2} + C A^{2} \end{array}$

Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC đều có cạnh là 1. Khi đó

$\{\begin{cases} A B^{2} + B C^{2} + C A^{2} = 3 \\ G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = 1 \end{cases} \Rightarrow 3 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}) = A B^{2} + B C^{2} + C A^{2} .$

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc (IJ, CD) bằng:

Xem đáp án » 05/01/2023 184

Câu 2:

Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AD . Cho biết AB = CD = 2a và $M N = a \sqrt{3}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .

Xem đáp án » 05/01/2023 173

Câu 3:

Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ thỏa mãn: $|\vec{a}| = 26; |\vec{b}| = 28; |\vec{a} + \vec{b}| = 48$ . Độ dài vectơ $\vec{a} - \vec{b}$ bằng?

Xem đáp án » 05/01/2023 165

Câu 4:

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\vec{A F}$ và $\vec{E G}$ ?

Xem đáp án » 05/01/2023 157

Câu 5:

Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC và $\hat{B D A} = 60^{0}, \hat{A D C} = 90^{0}, \hat{B D C} = 120^{0}$ . Trong các mặt của tứ diện đó:

Xem đáp án » 05/01/2023 157

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và $B C = a \sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC

Xem đáp án » 05/01/2023 151

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc (MN, SC) bằng

Xem đáp án » 05/01/2023 150

Câu 8:

Cho hình lập phương $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ có cạnh a. Gọi M là trung điểm $\vec{B_{1} M} . \vec{B D_{1}}$ . Giá trị là:

Xem đáp án » 05/01/2023 148

Câu 9:

Cho tứ diện ABCD có $A B = C D = a, IJ= \frac{a \sqrt{3}}{2}$ ( I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD ). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :

Xem đáp án » 05/01/2023 147

Câu 10:

Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ thỏa mãn: $|\vec{a}| = 4; |\vec{b}| = 3; |\vec{a} - \vec{b}| = 4$ . Gọi $α$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ . Chọn khẳng định đúng?

Xem đáp án » 05/01/2023 146

Câu 11:

Cho tứ diện ABCD với $A B ⊥ A C, A B ⊥ B D$ . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Góc giữa PQ và AB là?

Xem đáp án » 05/01/2023 145

Câu 12:

Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.

a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

Xem đáp án » 05/01/2023 138

Câu 13:

Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

Xem đáp án » 05/01/2023 136

Câu 14:

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.

a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.

Xem đáp án » 05/01/2023 136

Câu 15:

Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

Xem đáp án » 05/01/2023 133

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất cơ bản

7 đề 42315 lượt thi Thi thử
93 Bài tập trắc nghiệm Lượng giác lớp 11 có lời giải

5 đề 29786 lượt thi Thi thử
75 câu trắc nghiệm Giới hạn nâng cao

4 đề 25341 lượt thi Thi thử
75 câu trắc nghiệm Giới hạn cơ bản

4 đề 24507 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất nâng cao

6 đề 23273 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Hàm số lượng giác cơ bản

5 đề 21413 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm cơ bản

6 đề 19147 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Hàm số lượng giác nâng cao

6 đề 18940 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Hàm số lượng giác có đáp án

2 đề 16884 lượt thi Thi thử
299 bài trắc nghiệm Tổ hợp xác suất từ đề thi đại học có lời giải chi tiết

11 đề 14028 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »