Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có $AA\text{'}=2\sqrt{13}a,$ tam giác ABC vuông tại C và $\widehat{ABC}={30}^0,$ góc giữa cạnh bên CC' và mặt đáy (ABC) bằng ${60}^0.$ Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Thể tích của khối tứ diện A'ABC theo a bằng                                    

Trong không gian cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với $AB=AD=2,CD=1,$ cạnh bên SA=2 và SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm AB Tính diện tích $S_{mc}$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE.

Biết rằng hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+28$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[0;4\right]$ tại $x_0.$ Giá trị của $x_0.$ bằng:

Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài 4 m để uốn thành khung cửa sổ có dạng như hình vẽ. Gọi r là bán kính của nửa đường tròn. Tìm r (theo mét) để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất.

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình ${2020}^x=m$ có nghiệm thực?

Thể tích của khối cầu có đường kính bằng 2 là: 

Cho hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ có đồ thị (C). Gọi $A,B\left(x_A\ne x_B\right)$ là 2 điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại A,B song song với nhau và $AB=2\sqrt{2}.$ Tích $x_A.x_B$ bằng

Cho phương trình $\cos 2x+\sin x-1=0\left(*\right).$ Bằng cách đặt $t=\sin x\left(-1\le t\le 1\right)$ thì phương trình (*) trở thành phương trình nào sau đây?

Trong năm 2020 (tính đến hết ngày 31/12/2020), diện tích rừng trồng mới của tình A là 1200 ha. Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Kể từ sau năm 2020, năm nào dưới đây là năm dầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1600 ha? 

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên $ℝ\backslash \left\{-1\right\}$ và có bảng biến thiên

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng $\frac{a\sqrt{21}}{3}$ và mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng ${60}^0.$ Tính thể tích V của khối chóp. 

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;1;-1) và B(2;3;2). Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ là 

Trong không gian Oxyz góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$ và $\overrightarrow{u}=\left(1;-\sqrt{3};0\right)$ là 

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Cho hàm số F(x) có F(0)=0. Biết $y=F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số $G\left(x\right)=\left|F\left(x^6\right)-x^3\right|$ là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho $\frac{SM}{SC}=\frac{1}{3}.$ Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa AM và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại P và Q. Gọi V' là thể tích của $S.APMQ;\frac{SP}{SB}=x;\frac{SQ}{SD}=y;\left(0<x;y<1\right),$ Khi tỉ số $\frac{V\text{'}}{V}$ đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị của tổng $x+3y.$